В соответствии с т. П.Л. Чебышёва (см., например, [1, 2]) интеграл
![$\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$ $\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/8/2b8161c001f373b67ab60a3a76bc9c8c82.png)
в элементарных функциях не берется. Интеграл можно взять в спец. функциях, например, Maple 12:
Код:
> int((1+x^2)^(1/3), x);
x*hypergeom([-1/3, 1/2],[3/2],-x^2)
Ref.
[1] Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 — М.: Наука, 1983; §8.10 Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982; гл. 7, §10 Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений, п. 3 Интегрирование биномиальных дифференциалов.