Инт. от дифференциального бинома (в специальных функциях)

[daogiauvang]

Вычислить интеграл $\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$

[gris]

гиперболическая подстановка не подойдёт? Типа $x=\ch t$

[GAA]

В соответствии с т. П.Л. Чебышёва (см., например, [1, 2]) интеграл $\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$ в элементарных функциях не берется. Интеграл можно взять в спец. функциях, например, Maple 12:

> int((1+x^2)^(1/3), x);
                  x*hypergeom([-1/3, 1/2],[3/2],-x^2)

Ref.
[1] Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 — М.: Наука, 1983; §8.10 Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982; гл. 7, §10 Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений, п. 3 Интегрирование биномиальных дифференциалов.

[Полосин]

$$ K=\int \sqrt[3]{1+x^2}dx=(s=\sqrt[3]{1+x^2})=\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac32 (I+J) $$

,

$$ J=\int \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}} $$

,

$$ I=\int \sqrt{s^3-1}ds=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 I-\frac32 J $$

,

$$ I=\frac25s\sqrt{s^3-1}-\frac35 J $$

,

$$ K=\frac35(s\sqrt{s^3-1}+J) $$

,

$$ J(y)=\int_1^y \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac1{\sqrt[4]3}F(\phi,k), \phi=\arccos \frac{\sqrt 3 +1-y}{\sqrt 3 -1+y}, k=\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2} $$

[daogiauvang]

$$\int \frac{dx}{\sqrt{sin x cos^5 x}}$$

[Полосин]

Аналогично, $s=\sqrt \tg x $. У Вас еще много интегралов?

[ewert]

да неберущихся -- полно! "Людей с запятнанной репутацией на свете гораздо больше, чем с незапятнанной" ($\copyright$ типа Швейк)

[daogiauvang]

Полосин писал(а):

$$ K=\int \sqrt[3]{1+x^2}dx=(s=\sqrt[3]{1+x^2})=\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac32 (I+J) $$

,

$$ J=\int \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}} $$

,

$$ I=\int \sqrt{s^3-1}ds=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 I-\frac32 J $$

,

$$ I=\frac25s\sqrt{s^3-1}-\frac35 J $$

,

$$ K=\frac35(s\sqrt{s^3-1}+J) $$

,

$$ J(y)=\int_1^y \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac1{\sqrt[4]3}F(\phi,k), \phi=\arccos \frac{\sqrt 3 +1-y}{\sqrt 3 -1+y}, k=\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2} $$

$$F(\phi,k) $$

это какая функция ????

[Полосин]

$$ F(\phi,k)=\int_0^{\phi} \frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}} $$

- эллиптический интеграл 1 рода.