2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Инт. от дифференциального бинома (в специальных функциях)
Сообщение23.02.2009, 09:51 
Аватара пользователя
Вычислить интеграл $\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 10:03 
Аватара пользователя
гиперболическая подстановка не подойдёт? Типа $x=\ch t$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 10:55 
В соответствии с т. П.Л. Чебышёва (см., например, [1, 2]) интеграл $\int \sqrt[3]{1+x^2} dx$ в элементарных функциях не берется. Интеграл можно взять в спец. функциях, например, Maple 12:
Код:
> int((1+x^2)^(1/3), x);
                  x*hypergeom([-1/3, 1/2],[3/2],-x^2)
Ref.
[1] Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 — М.: Наука, 1983; §8.10 Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982; гл. 7, §10 Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений, п. 3 Интегрирование биномиальных дифференциалов.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 19:14 
$$
K=\int \sqrt[3]{1+x^2}dx=(s=\sqrt[3]{1+x^2})=\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac32 (I+J)
$$,
$$
J=\int \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}
$$,
$$
I=\int \sqrt{s^3-1}ds=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 I-\frac32 J
$$,
$$
I=\frac25s\sqrt{s^3-1}-\frac35 J
$$,
$$
K=\frac35(s\sqrt{s^3-1}+J)
$$,
$$
J(y)=\int_1^y \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac1{\sqrt[4]3}F(\phi,k),
\phi=\arccos \frac{\sqrt 3 +1-y}{\sqrt 3 -1+y},
k=\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2} 
$$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 19:44 
Аватара пользователя
$$\int \frac{dx}{\sqrt{sin x cos^5 x}}$$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 20:02 
Аналогично, $s=\sqrt \tg x $. У Вас еще много интегралов? :-)

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 20:10 
да неберущихся -- полно! "Людей с запятнанной репутацией на свете гораздо больше, чем с незапятнанной" ($\copyright$ типа Швейк)

 
 
 
 
Сообщение07.03.2009, 22:00 
Аватара пользователя
Полосин писал(а):
$$
K=\int \sqrt[3]{1+x^2}dx=(s=\sqrt[3]{1+x^2})=\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac32 (I+J)
$$,
$$
J=\int \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}
$$,
$$
I=\int \sqrt{s^3-1}ds=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 \int \frac{s^3ds}{\sqrt{s^3-1}}=s\sqrt{s^3-1}-\frac32 I-\frac32 J
$$,
$$
I=\frac25s\sqrt{s^3-1}-\frac35 J
$$,
$$
K=\frac35(s\sqrt{s^3-1}+J)
$$,
$$
J(y)=\int_1^y \frac{ds}{\sqrt{s^3-1}}=\frac1{\sqrt[4]3}F(\phi,k),
\phi=\arccos \frac{\sqrt 3 +1-y}{\sqrt 3 -1+y},
k=\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2} 
$$

$$F(\phi,k) $$ это какая функция ????

 
 
 
 
Сообщение08.03.2009, 01:01 
$$
F(\phi,k)=\int_0^{\phi} \frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}
$$ - эллиптический интеграл 1 рода.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group