Замечательное диофантово уравнение

[Droog_Andrey]

Интересно, является ли $3^5+10^2=7^3$ единственным решением уравнения $x^m+y^n=z^k$ в целых числах, больших единицы, таким, что в тройках $(x; y; z)$ и $(m; n; k)$ одно число равно сумме двух других?

[Мат]

$2^3+1^n=3^2$
$2+1=3$

[Droog_Andrey]

Мат писал(а):

$2^3+1^n=3^2$
$2+1=3$

Droog_Andrey писал(а):

больших единицы,

[maxal]

$$2^3+2^3=(2+2)^2$$

[worm2]

$(4n^3-n)^2+(2n)^4=(4n^3+n)^2$

[maxal]

$$n^{k+1} + \left(\frac{n^k-n}{2}\right)^2 = \left(\frac{n^k+n}{2}\right)^2$$

[Droog_Andrey]

maxal, среди чисел $(m, n, k)$ одно должно равняться сумме двух других.

worm2 писал(а):

$(4n^3-n)^2+(2n)^4=(4n^3+n)^2$

Красиво!

Я так и подозревал, что будут решения с двумя квадратами и одной четвёртой степенью, но сам не удосужился их найти. Надо было не торопиться создавать новую тему...

[maxal]

Droog_Andrey
Ну так возьмите $k=3$