О "последнем" утверждении П. Ферма

[ljubarcev]

shwedka писал(а):

Повторяю. Случай деления на 3 -самый общий, но Вы его не доказали. Вы доказали случай деления на 3 И НЕДЕЛЕНИЯ на 9.

Уважаемая Shwedka ! Согласен, что я это не доказал Тем более, что это и не нужно, так как я доказал, что число

$$g^3-k^3$$

не лелится целиком ни на какое

$$m$$

хоть делящееся, хоть не делящееся на

$$3$$

Утверждение: число ;$(g^3-k^3)$; не делится на число

$$m$$

.
Действительно. Разделив равенство

$$\frac{2mgk}{3}+m^3=\frac{g^3-k^3}{9}$$

., на

$$m$$

увидим, что должно выполняться равенство

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

. Теперь видно, так как числа $g;k$ не делятся на 3, то число слева

$$\frac{2gk}{3}$$

не целое, а, следовательно, и число справа

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

целым быть не может. Так как число $(g^3-k^3)$ делится на $9$ то, очевидно, что на $m$ не делится $(g^3-k^3)$. Числа $m$ и $(g^3-k^3)$ могут быть не взаимно простыми, но число

$$m$$

в своём разложении при этом должно содержать множитель еа который число .$(g^3-k^3)$ не делится, так как

$$\frac{2gk}{3}$$

не целое.
Дед.
..

[shwedka]

Ну и пусть не делится! С чего оно должно делиться!
Если хотите, помещайте полное доказательство. Никто не будет в обрывках полугодовой давности возиться.

И если Вы настаиваете, могу в ПОСЛЕДНИЙ раз его посмотреть. Но с условием!! Если найду ошибку, то Вы навсегда прекращаете это бессмысленное занятие.
Идет?

[Гаджимурат]

ljubarcev в сообщении #8387 писал(а):

a^2 + (c – b)^2 = s^2 (1)

Существует только одно решение ур-ния (1): в правой части ур-ния цисло нечет,а в левой его части числа чет и нечет.Это общеизвестно. Пусть а-нечет,тогда с и b либо оба чет или оба числа -нечет.Поэтому в ур-нии Ферма имем: нечет=нечет+нечет ??? или чет= чет+нечет???.
Случай,когда а-чет ,рассмотрите сами и поймете,что дальнейшие Ваши рассуждения теряют всякий смысл.Если бы было все так просто,то я бы нашел решение ВТФ еще лет 20 назад.

[Fsb4000]

Посмотрел тему. Появился вопрос: зачем вы доказываете то, что доказал Андре Уайлз? Пытаетесь упростить?

[ljubarcev]

Уважаемая Shwedka ! Ферматизм – всей математической общественностью признанная болезнь, причём болезнь неизлечимая. По этому обманывать Вас не хочу – бросить это я не смогу. Решать, конечно, Вам. Осмеливаюсь убедительно просить Вас рассмотреть вариант полного доказательства для случая $n=3$ - всего десяток утверждений с доказательствами.
Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$ , то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при $(x;y;z)$ попарно взаимно простых.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство

$$x^3+y^3=z^3$$

.
Утверждение 1. Должно быть

$$x+y-z=3t$$

- $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем

$$x^3-x=3A$$

;

$$y^3-y=3B$$

;

$$z^3-z=3C$$

. С учётом того, что

$$x^3+y^3-z^3=0$$

после сложения всех равенств получим

$$x+y-z=3(C-B-A)=3t$$

; где $(C-B-A)= t$ – натуральное число.
Утверждение 2 . При попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа $(z-y);(z-x);(x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Доказательство.
Из

$$x^3+y^3=z^3$$

получаем:

$$\frac{x^3}{z-y}=z^2+zy+y^2$$

;

$$\frac{y^3}{z-x}=z^2+zx+x^2$$

;

$$\frac{z^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$$

. Очевидно, что бы последние равенства выполнялись в натуральных числах число $z-y$ должно состоять только и только из множителей числа $x$; число $z-x$ должно состоять только и только из множителей числа $y$; число $x+y$ должно состоять только и только из множителей числа $z$. Таким образом видно что, при попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа $(z-y); (z-x); (x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство

$$(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$$

.
Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; $ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть

$$t^3=\frac{(x+y)(z-x)(z-y)}{3^2}$$

.
Очевидно, что при взаимно простых $(x+y);(z-x);(z-y)$ одно и только одно из них должно делится на $3^2$. Так как слева мы имеем $t^3$, куб, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например, $z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Утверждение 4. Должно выполняться

$$x+y-z=3mgk$$

.
Доказательство.
Так как

$$(3t)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$$

, а $z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$, то после подстановки получим

$$(3t)^3=3\bullet 9m^3g^3k^3$$

, а после извлечения кубического корня yвидим, что должно выполняться

$$3t=x+y-z=3mgk$$

.
Утверждение 5. Должно быть

$$x=3mx_1$$

Положив $z-y=9m^3$, мы тем самым определили, что из тройки $x;y;z$ именно число $x$ должно делиться на 3. Действительно. Из $x^3+y^3=z^3$ следует

$$\frac{x^3}{9m^3}=z^2+zy+y^2$$

, откуда видно, что $x$ должно делиться на 3m, то есть должно быть

$$x=3mx_1$$

Утверждение 6. При $y$ не делящемся на 3 числа $(z-x); (z^2+zx+x^2)$; взаимно простые. Доказательство.
Предположим обратное – пусть они имеют общий множитель $b$, то есть что $(z-x)=bA$; $(z^2+zx+x^2=bB)$, где $b;A;B$ - натуральные числа. После подстановки получим $x^2+2Abx+b^2A^2+x^2+bAx+x^2 =bB$
$3x^2+3Abx+b^2A=bB$ и после деления на $b$ получим

$$\frac{3x^2}{b}+3Ax+bA=B$$

. Видим, что целым числом должна быть дробь

$$\frac{3x^2}{b}$$

. Это возможно только при $b=1$, так как при $b$ и $x$ делящихся на 3 из $z-x=bA$ видно, что на 3 должно делиться и $z$, что невозможно. При $x$ делящемся на $b$ из $z-x=bA$ так же видно, что на $b$ должно делиться и $z$, что так же невозможно при взаимно простых $z$ и $x$. Следовательно, возможно только $b=1$, то есть числа $(z-x);(z^2+zx+x^2)$ должны быть взаимно простыми. Совершенно аналогично доказательство взаимной простоты чисел $(x+y);(x^2-xy+y^2$.
Утверждение 7. При взаимно простых $(z-x); (z^2+zx+x^2)$ и $(x+y);(x^2-xy+y^2$ должно быть $z-x=k^3$; $z^2+zx+x^2=y_1^3$; $y=ky_1$; $x+y=g^3$; $x^2-xy+y^2=z_1^3$: $z=gz_1$. Доказательство.
При взаимно простых $(z-x); (z^2+zx+x^2)$ из
$y^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)$ очевидно, что каждое из этих чисел должно быть кубом, то есть $z-x=k^3$; $z^2+zx+x^2=y_1^3$ и $y^3=k^3y_1^3$, а $y=ky_1$.
При взаимно простых $(x+y); (x^2-xy+y^2)$ из
$z^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ очевидно, что каждое из этих чисел должно быть кубом, то есть $x+y=k^3$; $x^2-xy+y^2=z_1^3$; и $z^3=g^3z_1^3$, а $z=gz_1$.
Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3+z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3^1$. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет тождеству

$$2(x+y-z)=(x+y)-(z-x)-(z-y)$$

.
Доказано, что в нашем случае должно быть $x+y-z=3mgk$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$. После подстановки видно, что должно быть:

$$6mgk=g^3-k^3-9m^3$$

$$6mgk+9m^3=g^3-k^3$$

и после деления всего равенства на $9$ получим:

$$\frac{2mgk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9}$$

.
В этом равенстве число справа будет целым, так как числа $g$ и $k$ на 3 не делятся и поэтому должно быть $g=3g_1+1$; $k=3k_1+1$.
Тогда
$g^3-k^3=27(g_1^3-k_1^3)+27(g^2-k^2)+9(g_1-k_1)$.

$$\frac{g^3-k^3}{9}=3(g_1^3-k_1^3)+3(g^2-k^2)+(g_1-k_1)$$

и , очевидно, что число

$$\frac{g^3-k^3}{9}$$

целое, как сумма целых чисел. Число слева

$$\frac{2mgk}{3}$$

при взаимно простых $g;k;m$ не делящихся в нашем случае на 3 натуральных числах, очевидно, целым быть не может. Следовательно, равенство

$$\frac{2mgk}{3}+m^3=\frac{g^3-k^3}{9}$$

не выполняется в натуральных числах и исходное предположение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах..
Утверждение 9. Число $(g^3-k^3)$ не делится на число $m$. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет тождеству

$$2(x+y-z)=(x+y)-(z-x)-(z-y)$$

. В нашем случае должно быть $x+y-z=3mgk$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$. После подстановки видно, что должно быть:

$$6mgk=g^3-k^3-9m^3$$

$$6mgk+9m^3=g^3-k^3$$

и после деления всего равенства на $9m$ увидим, что должно выполняться равенство

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

.
Так как числа $g;k$ не делятся на 3, то число слева

$$\frac{2gk}{3}$$

не может быть целым, а, следовательно, и число справа

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

целым быть не может.
Так как число $(g^3-k^3)$ делится на $9$ то, очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.
Утверждение 10. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах.
Доказательство.
В утверждении 8 доказано, что должно выполняться в натуральных числах равенство $6mgk+9m^3=g^3-k^3$. Разделив это равенство на число $m$ увидим, что должно выполняться равенство

$$6gk+9m^2=\frac{g^3-k^3}{m}$$

. В последнем равенстве число слева, как сумма целых чисел – целое число. В тоже время в утвердении 9 доказано, что число справа

$$\frac{g^3-k^3}{m}$$

целым быть не может. Это противоречие доказывает что равенство

$$6gkm+9m^3=g^3-k^3$$

не разрешимо в натуральных числах. Так как последнее равенство эквивалентно исходному предположению

$$x^3+y^3=z^3$$

, то и это равенство не имеет решений в натуральных числах.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #191616 писал(а):

Так как число $(g^3-k^3)$ делится на $9$ то, очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.

Не только не очевидно, но и неверно!

[Мат]

ljubarcev
Пусть $x^3+y^3=z^3$. Тогда т.к. $3$ - простое, и $2\cdot3+1=7$ - простое, то:
$x^3=7k_1\pm1$
$y^3=7k_2\pm1$
$z^3=7k_3\pm1$ (проверьте, это действительно так).
Тогда,
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=z_0^3z_1^3=z^3$
$z^3-x^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)=y_0^3y_1^3=y^3$
$z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)=x_0^3x_1^3=x^3$
Откуда каждое из чисел:
$x^2-xy+y^2=z_1^3=7k_4\pm1$
$z^2+zx+x^2=y_1^3=7k_5\pm1$
$z^2+zy+y^2=x_1^3=7k_6\pm1$
С другой стороны:
$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$
Откуда, т.к. $x+y=z_0^3=7k_7\pm1$, то
$x^2-xy+y^2=7k_4\pm1=(7k_7\pm1)^2+3xy$
Но это невозможно, т.к. $7k_4\pm1-(7k_7\pm1)^2\neq3xy$

[Гаджимурат]

Fsb4000 в сообщении #191457 писал(а):

отрел тему. Появился вопрос: зачем вы доказываете то, что доказал Андре Уайлз? Пытаетесь упростить?

ДА.

[ljubarcev]

shwedka писал(а):

ljubarcev в сообщении #191616 писал(а):

Так как число $(g^3-k^3)$ делится на $9$ то, очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.

Не только не очевидно, но и неверно!

Уважаемая $Shwedka !
Позвольте не согласитья. Прошу прощения, но я полагаю, что Вы, утверждая что дробь

$$\frac{g^3-k^3}{m}$$

целое число, исходите из того ,что в нашем случае должно быть $g^3=x+y$; $k^3=z-x$. При этом действительно, очевидно, что

$$\frac{g^3-k^3}{m}=6x_1-9m^2$$

- целое. Но здесь важно понять - этим доказано, что дробь ДОЛЖНА БЫТЬ целым числом и только. Это одна сторона противоречия.
В то же время, думаю Вы согласитесь с доказанным, что в равенстве

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

. число

$$\frac{2gk}{3}$$

не целое, а следовательно, и число

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

не может быть целым. Так как доказано, что в нашем случае число $g^3-k^3$ делится (не должно, а именно делится) на $9$ при $g;k$, удовлетворяющих
исходному равенству, то, так как

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

не целое, очевидно, что $g^3-k^3$ не делится на $m$. Этим доказана вторая сторона противоречия.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #192043 писал(а):

очевидно, что $g^3-k^3$ не делится на $m$

Опять, вместо доказательства -'очевидно!!' Заканчивайте эти глупости!!
36 не делиtся на $9\times 6=54$, но прекрасно делится и на 9, и на 6.

Хватит позориться!!

[ljubarcev]

shwedka писал(а):

ljubarcev в сообщении #192043 писал(а):

очевидно, что $g^3-k^3$ не делится на $m$

Опять, вместо доказательства -'очевидно!!' Заканчивайте эти глупости!!
36 не делиtся на $9\times 6=54$, но прекрасно делится и на 9, и на 6.

Хватит позориться!!

Уважаемая Shwedka ! Пример Вы привели неудачный. Вы взяли $g^3-k^3=36$; $9m=54$, хотя число 36 не является разностью двух кубов, а число 9m у Вас больше чем число $g^3-k^3=36$. Это, конечно, обеспечивает выполнение полученного из доказанного - равенство

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

не выполняется в натуральных числах - условия: число

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

не целое, но только потому, что у Вас

$$\frac{g^3-k^3}{9m}<1$$

, хотя из приведенного равенства видно, что оно должно быть по крайней мере больше $m^2$.
Теперь об очевидности. Если бы число $g^3-k^3$ делилось на $m$, то, так как доказано, что оно делится на 9 при $(9;m)=1$ оно должно иметь вид $g^3-k^3=9mP$, где $P$ - натуральное число. Но тогда будет

$$\frac{g^3-k^3}{9m}=P$$

- целое число, что невозможно. Следовательно, так как точно известно, что $g^3-k^3$ на 9 - делится, то ясно, что оно не делится на $m$. А ведь должно делиться !

Ничего позорного в попытках человека докопаться до истины не вижу. Можете представить сколько людей прожили жизнь познав многие истины добытые другими и не докопавшись хотя бы до одной, пусть маленькой, своей.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #192539 писал(а):

$(9;m)=1$

этот случай давно разобран, полгода назад!. Сейчас Вы хвалитесь случаем, когда $m$ делится на 3.

ljubarcev в сообщении #191033 писал(а):

так как я доказал, что число $g^3-k^3$ не лелится целиком ни на какое $m$ хоть делящееся, хоть не делящееся на $3$

а тут рассуждение

Цитата:

оно должно иметь вид $g^3-k^3=9mP$, где $P$ - натуральное число.

не работает.
вот объясните, как Вы эту неделимость докажете, если $m$ делится на 3??
А в примере дело не в размерах чисел, а в том, что 36 делится на 9, но не на 27.
Хотите еще пример?
$91^3-31^3$ делится на 9 и на 6, но не на 54.

[ljubarcev]

shwedka писал(а):

ljubarcev в сообщении #191616 писал(а):

Так как число $(g^3-k^3)$ делится на $9$ то, очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.

Не только не очевидно, но и неверно!

Уважаемая Shwedka !
Рассмотрим Ваш пример $g=91$; $k=31$.
Возьмём

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

и после подстановки получим

$$\frac{2*91*31}{3}+m^2=\frac{4*5*9*4021}{9m}$$

. Из равенства видно , что число

$$\frac{4*5*4021}{m}$$

не может быть целым – число слева $\frac{2gk}{3}$ очевидно не целое. Вы взяли пример, когда $g^3-k^3$ делится на 9. В общем случае при $g;k$ равно остаточных при делении на 3 всегда найдутся такие $g;k$, что
$g^3-k^3$ будет делиться на 3 в любой степени $i+1$;
i – натуральное число. Достаточно взять $g=3^ig_1+1$;
$k=3^ik_1+1$. Тем не менее так как из равенства

$$\frac{2gk}{3}+m^2=\frac{g^3-k^3}{9m}$$

следует, что дробь

$$\frac{g^3-k^3}{9m}=\frac{3^{i+1}p}{9m}$$

не может быь целым числом. Число

$$\frac{3^{i-1}p}{m}$$

не целое, следовательно, даже если числа $p;m$ не взаимно простые, число $m$ в своём разложении в соответствии с основной теоремой арифметики содержит множитель $m_j$ которого нет в таком же разложении числа $p$.
Так что, всё таки число $g^3-k^3$ на $9m$ не делится.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #195597 писал(а):

Так что, всё таки число $g^3-k^3$ на $9m$ не делится.

С этим никто не спорит.
Спор идет о Вашем утверждении

ljubarcev в сообщении #195597 писал(а):

очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.

это утверждение неверно.

[ljubarcev]

shwedka писал(а):

ljubarcev в сообщении #195597 писал(а):

Так что, всё таки число $g^3-k^3$ на $9m$ не делится.

С этим никто не спорит.
Спор идет о Вашем утверждении

ljubarcev в сообщении #195597 писал(а):

очевидно, что $(g^3-k^3)$ не делится на $m$.

это утверждение неверно.

Уважаемые господа ! Доказано, что
1. в рассматриваемом случае дробь

$$\frac{g^3-k^3}{9m}$$

не целое число:
2. в рассматриваемом случае число $g^3-k^3$ ВСЕГДА делится на $9$.
Может кто нибуть объяснить мне тупому, как при этом $g^3-k^3$ может делиться на $m$.- ведь при этом дробь станет целым числои, а это недопустимый случай ?
Дед.