Задачка по уравнению плоскости

[BapuK]

Проверить, что 3 плоскости $ 11x+10y+2z=0, 3x+4y=0, x-y+z-1=0$ образуют призму и вычислить косинус ее внутреннего двугранного угла образованного первыми двумя плоскостями. На то что образуют пизму проверил, нашел так же косинус угла между нормалями 1 и 2 плоскости и он равен $73/75$, но внутренний угол этой призмы может быть как тупым так и острым, и основная проблема заключается в то как это определить, подскажите как это сделать

[bot]

Ну, как вариант - рассечь эту призму плоскостью ...
другой вариант - взять точку на пересечении двух плоскостей и подставить её в уравнение третьей, знак полученного значения покажет по какую сторону от третьей плоскости лежит точка, отсюда понятно как выбрать правильное направление нормали к этой третьей плоскости.

[BapuK]

А как конкретно может помоч знание отклонения точки, лежащей на пеесечении первых двух плоскостей, от 3ей плоскости в выборе знака косинуса угла между йой и 2ой плоскостью? в данном случае линий пересечения 1 и 2ой плоскости будет проходить через начало координат, ну и следовательно знак отклонения будет отрицательным.
2ой вариант как то тоже не особо понятен, какую такую плоскость нужно провести чтоб было понятно тупой угол или острый, разве что если бы биссекториальная плоскость проходящая через данный угол была перпендикулярна 3ей плоскости, тогда сразу было бы понятно какой угол а так...

[bot]

Чтобы определить двугранный угол, достаточно определить угол между нормалями плоскостей, только надо определиться в выборе направления этих нормалей, иначе как Вы верно заметили, с вероятностью 1/2 определите дополняющий до развёрнутого угол вместо искомого.

Ну ладно, чуть подробнее, дальше уже некуда.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $r_0$ перпендикулярно вектору $n$ имеет вид $(n, r-r_0)=0$. Какой геометрический смысл приобретёт модуль левой части, если вместо $r$ взять точку, не принадлежащую плоскости? Каков геометрический смысл знака левой части?

[TOTAL]

BapuK писал(а):

Проверить, что 3 плоскости $ 11x+10y+2z=0, 3x+4y=0, x-y+z-1=0$ образуют призму

Не образуют они призму.

[BapuK]

вот насчет модуля еще не совсем понял что он будет означать, а вот насчет знака вроде что-то понятно:
Если в результате у выражения будет знак "-", то если построить данную нормаль начиная от плоскости, то конец данной нормали и точка будут лежать по разные стороны плоскости
Если же будет знак "+" то по одну сторону от плоскости.
Если это действительно так то проблемы с выбором нужных нормалей не будет и задача решена. Прав ли я насчет смысла знака?

TOTAL писал(а):

Не образуют они призму.

с чего Вы взяли? то что он образуют призму следует из того что система из этих 3ех уравнений не имеет решения, следовательно у этх плоскостей нет общей точки ну и следовательно они пересекаются по 3-ем параллельным прямым , которые будут являться ребрами треугольной призмы с 3мя бесконечными боковыми гранями

[TOTAL]

BapuK писал(а):

с чего Вы взяли?

С того, что у призмы больше трёх граней-границ.

Добавлено спустя 6 минут 48 секунд:

На каждой из трёх параллельных прямых возьмите по точке (произвольной точке).
Среднее арифметическое этих точек лежит внутри треугольной трубы.

[bot]

BapuK в сообщении #192313 писал(а):

вот насчет модуля еще не совсем понял что он будет означать

Формула расстояния от точки до плоскости Вам известна? Она ведь из рассмотрения уравнения скалярного произведения $(n, r-r_0)$ сразу очевидна. Только в этой формуле зачем-то в числителе знак модуля ставят, а зря - теряется важная информация о взаимном расположении плоскости и точки относительно направления нормали.

Со знаками разобрались, поздравляю. Теперь для правильного выбора направлений требуется выбрать согласованные знаки нормалей двух плоскостей "-" это либо оба + либа оба "-"

TOTAL либо пошутил либо ошибся - три нормали попарно не параллельны, но линейно зависимы, поэтому призма.

[TOTAL]

bot писал(а):

TOTAL либо пошутил либо ошибся - три нормали попарно не параллельны, но линейно зависимы, поэтому призма.

Я считаю, что у призмы должны быть донышки.

[BapuK]

получается призма с бесконечными боковыми гранями, если провести две параллельные плоскости пересекающие данные три плоскости то получится призма по определению, у которой основания будут параллельны, но в этой задаче это не главная суть

[TOTAL]

Посмотрите определение призмы. У призмы есть основания - два равных многоугольника в параллельных плоскостях. Поэтому неверно говорить, что три плоскости образуют призму.

[bot]

TOTAL в сообщении #192319 писал(а):

Я считаю, что у призмы должны быть донышки

Ах вот оно что. Заставили меня перепроверять линейную зависимость.

Добавлено спустя 2 минуты 54 секунды:

TOTAL в сообщении #192323 писал(а):

Поэтому неверно говорить, что три плоскости образуют призму.

Говорят, всё-таки, но договариваться об этом, конечно, надо заранее

[BapuK]

bot спасибо большое за подсказку,ну и фактически тык пальцем на решение данной задачи но можете все так сказать что модуль скалярного произведения $(n,r-r_0)$ означает ? (ну это уже так для расширения кругозора как говорится ) Зараннее еще раз спасибо

[bot]

Ну дык, смотрите: $r-r_0$ - это вектор, сдвигающий точку $r_0,$ принадлежащую плоскости в точку $r$, а $n$ - вектор перпендикулярный плоскости $\Pi$. Раскрываем скалярное произведение и получаем:

$(n, r-r_0)=|n|\cdot |r-r_0|\cos\widehat {(n, r-r_0)}=|n|\cdot pr_n ( r-r_0)$,

проекцию $pr_n (r-r_0)$ на направление нормали можно назвать "ориентированным" расстоянием от точки до плоскости:

$\rho (r, \Pi )= \frac{(n, r-r_0)}{|n|}$, в частности, $r\in \Pi \iff (n, r-r_0)=0$.

Узнаваемо?

[BapuK]

действительно узнаваемо ну в принципе я так и подумал, ибо единственное че пришло в голову это то что скалярное произведение равно проекции перовго вектора на второй, деленного на длину второго, спасибо за разъяснение