вариационная задача

[migiale]

Добрый день.
Я пытаюсь решить следующую вариационную задачу. Пусть x(t) - некоторая функция на [0;T]
\int\limits_0^T\int\limits_0^t x(t)x(\tau)e^{-\alpha(t-\tau)}d\tau dt \rightarrow \min_{x(t)}
при условии
\int\limits_0^Tx(t)dt = 1

насколько я понимаю, решение этой задачи: постоянная функция + 2 дельта-функции, одна в нуле, другая в T (с некоторыми множителями перед ними). Но как показать это корректно? Вроде бы обычные методы здесь не работают (или я разучился брать производные)?

Спасибо.

[mihiv]

Необходимое условие экстремума: $\delta I=0$,где $\delta I=\int\limits_0^T\delta x(t)\int\limits_0^tx(\tau)e^{-\alpha|t-\tau|}d\tau dt+\int\limits_0^Tx(t)\int\limits_0^t\delta x(\tau)e^{-\alpha|t-\tau|}d\tau dt=0$.Во втором интеграле поменяем порядок интегрирования и переобозначим переменные интегрирования:$t\to\tau$,$\tau\to t$.В результате получим:$ \delta I=\int\limits_0^T\delta x(t)\int\limits_0^Tx(\tau)e^{-\alpha|t-\tau|}d\tau d t=0 (1)$.Функция $\delta x(t)$ удовлетворяет условию $\int\limits_0^T\delta x(t)dt=0$,а в остальном является произвольной. В частности, в качестве $\delta x(t)$ можно брать функции $\cos(n\pi\frac t T)(2)$, где $n\neq0$,целое число. В этом случае условие (1) может быть выполнено только если: $\int\limits_0^Tx(\tau)e^{-\alpha|t-\tau|}d\tau=$const(3).Но ясно, что условие (3) невозможно выполнить (даже используя $\delta$-функции). Поэтому напрашивается вывод,что этот функционал не имеет экстремума.