как найти предел триангуляций по метрике Хаусдорфа?

[Горьковчанин]

Рассматривается последовательность триангуляций правильных многоугольников, вписанных в одну окружность: $S_n$ - какая-то триангуляция $n$-уголника, $n\to\infty$. Хаусдорфова метрика на компактных множествах задана соотношением

$$ d(C_1, C_2) = \sup_{x\in C_1} \inf_{y\in C_2} |y-x|+\sup_{x\in C_2} \inf_{y\in C_1} |y-x|.$$

Утверждается например, что если триангуляция $S_n$ соединяет вершины

$$(1,2), (1,3), \ldots, (1,n),$$

то в пределе получается внутренность круга. Наглядно я понимаю, почему внутренность круга, но при этом я не учитываю конкретную метрику. Как найти предел именно по этой метрике?

[Brukvalub]

Горьковчанин в сообщении #192285 писал(а):

Как найти предел именно по этой метрике?

Проверить определение сходимости по метрике.

[Горьковчанин]

Brukvalub писал(а):

Горьковчанин в сообщении #192285 писал(а):

Как найти предел именно по этой метрике?

Проверить определение сходимости по метрике.

Ага, это и так ясно.

Для меня эта метрика непривичная, мне б помочь примеров каким, а не общими словами.

Например, пусть два множества - пересекающиеся отрезки. Тогда расстояние в этой метрике между ними не нулевое, так?

[Brukvalub]

Вычислим расстояние между отрезками I=

\[[0\;;\;1]\]

и J=

\[[0,5\;;\;3]\]

.
1.

\[ \mathop {\inf }\limits_{y \in J} \left| {x - y} \right| = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {0\;;\;x \in [0.5\;;\;1]} \\ {0.5 - x\;;\;x \in [0\;;\;0.5)} \\ \end{array}} \right. \]

Тогда

\[ \mathop {\sup }\limits_{x \in I} \mathop {\inf }\limits_{y \in J} \left| {x - y} \right| = 0.5 - 0 = 0.5 \]

2.

\[ \mathop {\inf }\limits_{x \in I} \left| {x - y} \right| = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {0\;;\;y \in [0.5\;;\;1]} \\ {y - 1\;;\;y \in (1\;;\;3]} \\ \end{array}} \right. \]

Тогда

\[ \mathop {\sup }\limits_{y \in J} \mathop {\inf }\limits_{x \in I} \left| {x - y} \right| = 3 - 1 = 2 \]

Поэтому

\[ d(I\;;\;J) = 2.5 \]

[Горьковчанин]

Brukvalub писал(а):

Вычислим расстояние между отрезками I=

\[[0\;;\;1]\]

и J=

\[[0,5\;;\;3]\]

.
....
Поэтому

\[ d(I\;;\;J) = 2.5 \]

Да, молодец, моего образования на это тоже хватило. Только я рассматривал не нахлестнутые отрезки, а скрещивающиеся отрезки на плоскости. Проблема тут в другом. Для двух соседних триангуляций $S_n$ и $S_{n+1}$ формулы получатся очень корявые (думаю я). Вряд ли задача имеет прямое аналитическое решение через вычисление этих расстояний. Например, я не могу себе представить две триангуляции, расстояние между которыми было бы меньше $0.01$ - а они есть!...

[Brukvalub]

Горьковчанин в сообщении #192296 писал(а):

Только я рассматривал не нахлестнутые отрезки, а скрещивающиеся отрезки на плоскости.

А вот чтобы представить скрещивающиеся отрезки на плоскости, моего образования не хватает.
Возможно, речь идет о не пересекающихся отрезках, лежащих на пересекающихся прямых? Тогда расстояние между ними тоже будет положительным.

[Горьковчанин]

Оказывается, чтобы разобраться, как устроена метрика Хаусдорфа, надо не пересекающиеся отрезки рассматривать, а, например, треугольник, вписанный в окружность. Тогда расстояние между треугольником и внутренностью круга будет наибольший расстояние от точек четырех областей, на которые треугольник разделили круг. И чтобы триангуляция была на малом расстоянии от круга, надо чтобы ее треугольники имели малые радиусы вписанных окружностей и куски круга, не покрытые треугольниками были довольно узкими.