Где ошибка? (Плотность распределения).

[Student2007]

Здравствуйте уважаемые форумчане.. Вот задача:
Случайная величина $X$ задана функцией распределения. Найти плотность распределения.

$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l}0 , x\leqslant 0,\\ \frac {(1 - \cos x)} 2 , 0 < x\leqslant \pi, \\ 1 , x < \pi, \end{array} \right$.

Я свое решение изобразил так:

Плотностью распределения называют первую производную от функции $F(x) = f'(x)$:
$ f'(x)= \left\{ \begin{array}{l}0 , x\leqslant 0,\\ 0.5 \sin x , 0 < x\leqslant \pi, \\ 0 , x < \pi, \end{array} \right$.
*************************
вот и все... Преподаватель задание отметил как не решенное... Почему? Подскажите пожалуйста недостатки моего решения? Попробую переписать.... Спасибо..

[ewert]

Скорее всего, отметил просто по зловредности. В своих точках разрыва плотность распределения не определена, поэтому формально Вы обязаны были все неравенства указывать строгими. Но фактически это не имеет ни малейшего значения, поскольку ни на какие вероятности доопределение плотности в отдельных точках не влияет. В общем, ловля блох -- и ничего более.

[--mS--]

Знаки неравенств у Вас там случайно такие: $x < \pi$ или так и было?

Может быть, существование плотности требовалось обосновать? А то продифференцировать-то почти всюду любую функцию распределения можно, в том числе и у распределения, у которого нет плотности.

ewert писал(а):

В своих точках разрыва плотность распределения не определена, поэтому формально Вы обязаны были все неравенства указывать строгими.

Плотность распределения определена всюду. Это производная может быть где-то не определена.

[ewert]

--mS-- в сообщении #192098 писал(а):

Плотность распределения определена всюду. Это производная может быть где-то не определена.

Вообще-то нет. Т.е. если и определена, то с точностью до множества меры ноль. Но ведь я же так и сказал, что -- ловля блох.

Хотя, конечно, есть и ещё версия -- что преподаватель оценил так просто с бодуна. Такое тоже случается, хотя и не часто.

[gris]

Конечно, описка в неравенстве $x<\pi$. Преподаватель мог подумать, что Вы не понимаете, что такое плотность. Надо так:
$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l}0 , x\leqslant 0,\\ \frac {(1 - cos x)} 2 , 0 < x\leqslant \pi, \\ 1 , x > \pi, \end{array} \right$.

Я свое решение изобразил так:

Плотностью распределения называют первую производную от функции распределения$F'(x) = f(x)$. Вообще-то это верно только для дифференцируемой плотности. Верно следущее:

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)dt$. Но в Вашем случае плотность можно доопределить по непрерывности. Всё же я думаю, преподаватель разозлился, когда увидел $x<\pi$.
$ f(x)= F'(x)=\left\{ \begin{array}{l}0 , x\leqslant 0,\\ 0.5 sin x , 0 < x\leqslant \pi, \\ 0 , x > \pi, \end{array} \right$.

[ewert]

Ну и чем Ваше замечательное решение отличается от авторского? Вы даже штрих по рассеянности оба не там поставили (а остальные на это даже не обратили внимания за тривиальностью).

[Student2007]

блин... не внимательно условие перепbcал.... там действительно должно быть $x>pi$...

ewert в сообщении #192100 писал(а):

Хотя, конечно, есть и ещё версия -- что преподаватель оценил так просто с бодуна. Такое тоже случается, хотя и не часто.

не, преподаватель у нас очень приличный..

может надо было записать так?
$f'(x)=(\frac {1-cos x} 2)' = (\frac 1 2 - \frac 1 2 cos x)'=\frac 1 2 sin x$ при $0<x<\pi$

а знаки $\leqslant$ можно просто поменять на <, это не будет ошибкой?

[gris]

Никогда с первого раза не получается, тем более под прищуренным глазом кое-кого. Вот так и Student2007 запаниковал наверное. У него плотность распределения получилась равной 0.

[Student2007]

--mS-- в сообщении #192098 писал(а):

Может быть, существование плотности требовалось обосновать? А то продифференцировать-то почти всюду любую функцию распределения можно, в том числе и у распределения, у которого нет плотности.

а как обосновать можно?

gris в сообщении #192103 писал(а):

. Но в Вашем случае плотность можно доопределить по непрерывности.

а каким образом можно доопределить до непрерывности?

[gris]

Я ещё пару раз поправил. Там действительно ещё буквы F и f мы перепутали. Вот по совокупности мелочей препод поставил минус.
А плотности не обязательно быть непрерывной.

[ewert]

Student2007 писал(а):

может надо было записать так?
$f'(x)=(\frac {1-cos x} 2)' = (\frac 1 2 - \frac 1 2 cos x)'=\frac 1 2 sin x$ при $0<x<\pi$

Ну вот, опять Вы зачем-то плотность ещё раз дифференцируете
(стандартно $F$ -- это функция распределения, плотность же -- $f$ или ещё какая буковка, но уж никак не $F$)

Student2007 писал(а):

а знаки $\leqslant$ можно просто поменять на <, это не будет ошибкой?

А кто ж Вас с Вашим замечательным преподавателем угадает -- какую конкретно версию Вы на момент сдачи ему подсунули и к какой конкретно формальности ему приспичило прицепиться (поскольку по существу-то цепляться не к чему).

[--mS--]

ewert писал(а):

--mS-- в сообщении #192098 писал(а):

Плотность распределения определена всюду. Это производная может быть где-то не определена.

Вообще-то нет. Т.е. если и определена, то с точностью до множества меры ноль. Но ведь я же так и сказал, что -- ловля блох.

То, что плотностью конкретного распределения можно назвать любую функцию, отличающуюся от "настоящей плотности" на множестве нулевой лебеговой меры, совершенно не означает, что плотность (любая из класса эквивалентности) где-то не определена.
Плотность по определению не есть производная функции распределения. Это в лучшем случае следствие определения, которое понимается в смысле равенства почти всюду. Да, ловля блох. Вы первый начали

2Student2007: Как обосновать - зависит от того, как у Вас определялась плотность и у каких распределений она существует. Например, можно проверить непрерывность функции распределения. Вместе с её дифференцируемостью всюду, кроме двух точек это достаточное основание для существования плотности.

А можно взять полученную производную и проверить, является ли она плотностью: неотрицательность и нормированность (интеграл по всей прямой равен единице).

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

ewert писал(а):

А кто ж Вас с Вашим замечательным преподавателем угадает -- какую конкретно версию Вы на момент сдачи ему подсунули и к какой конкретно формальности ему приспичило прицепиться (поскольку по существу-то цепляться не к чему).

Как это ни к чему? А если в функции распределения вместо $\frac12$ поставить $\frac14$, тоже всё будет хорошо? Плотность будет производной от этой функции?

Не следует огульно наезжать на преподавателя. С таким решением мой студент был бы послан далеко и надолго. Независимо от того, что думают об этом тут.

[Student2007]

ewert
понял... надо запиывать $f(x)=F'(x)....$ и так далее... Знаки пока трогать не буду..

--mS-- в сообщении #192130 писал(а):

То, что плотностью конкретного распределения можно назвать любую функцию, отличающуюся от "настоящей плотности" на множестве нулевой лебеговой меры, совершенно не означает, что плотность (любая из класса эквивалентности) где-то не определена.

... слишком сложно...
--mS--
фразу

gris в сообщении #192103 писал(а):

Плотностью распределения называют первую производную от функции распределения.

из текста убираю, потому что она не является определением плотности, а способом как можно ее найти, вместо нее пишу:
Для того, что бы узнать, существует ли плотность распределения для данной функции нужно продифференцировать ее во всех точках..
И далее то что писалось выше, только внимание на штрихи и обозначения, да?

[ewert]

--mS-- в сообщении #192130 писал(а):

Плотность по определению не есть производная функции распределения. Это в лучшем случае следствие определения, которое понимается в смысле равенства почти всюду. Да, ловля блох. Вы первый начали

это уже откровенный флуд пошёл, но я всё же на минутку продолжу. Что есть плотность (в классическом понимании функции), если функция распределения -- не есть абсолютно непрерывна?...

--mS-- в сообщении #192130 писал(а):

А если в функции распределения вместо $\frac12$ поставить $\frac14$, тоже всё будет хорошо?

А вот это уж -- обязанность преподавателя. Он обязан подсунуть или задачку с неизвестными нормировочными константами, которые следует найти -- или, коль уж скоро те константы заданы явно, то уж будь любезен позаботиться, чтоб они были корректными.

[--mS--]

ewert писал(а):

это уже откровенный флуд пошёл, но я всё же на минутку продолжу. Что есть плотность (в классическом понимании функции), если функция распределения -- не есть абсолютно непрерывна?...

А плотность по определению (в теории вероятностей, если производные по произвольной мере в смысле Радона - Никодима не трогать) есть только у абсолютно непрерывных распределений. Определение абсолютной непрерывности есть одновременно определение плотности. Без никаких производных.

ewert писал(а):

--mS-- в сообщении #192130 писал(а):

А если в функции распределения вместо $\frac12$ поставить $\frac14$, тоже всё будет хорошо?

А вот это уж -- обязанность преподавателя. Он обязан подсунуть или задачку с неизвестными нормировочными константами, которые следует найти -- или, коль уж скоро те константы заданы явно, то уж будь любезен позаботиться, чтоб они были корректными.

И чем это $1/4$ некорректнее $1/2$? Или Вы считаете, что это не будет функцией распределения?