Связность в R^n \ {x_i}

[id]

Решал такую задачку по общей топологии:

Цитата:

Пусть $n > 1$. Тогда $X:= \mathbb{R}^n \setminus M$, где $M$ - счетное множество, будет связанным.

Соображения были примерно такие:
Пусть это не так. Тогда $X = A \sqcup B$, где $A,B$ - открыто-замкнутые множества.
Тогда по опр. индуцированной топологии $\exists A',B' \subset \mathbb{R}^n:$ $A = X \cap A', B = X \cap B'$, где $A',B'$ - открытые множества.
$A'$ и $B'$ не пересекаются. В самом деле, если бы они пересекались, то пересечение имело бы внутр. точку а значит было бы несчетным, что противоречит счетности $M$.
Очевидно так же, что $\partial A' \cup \partial B' \subset M$ (или даже равно, тут не важно)
Тогда обе $\partial A',\partial B'$ не более чем счетны.

Имеем:
Пусть $Y \subset \mathbb{R}^n, n>1$ - открытое множество с дополнением, имеющим внутреннюю точку, $\partial Y$ счетно.
Это невозможно, если $n>1$. В самом деле, взять эту самую внутреннюю точку, и провести вокруг нее маленькую $S^{n-1}$. Центральные проекции $\partial Y$ на $S^{n-1}$ образуют не более чем счетное множество, в то время как центральная проекция $Y$ на $S^{n-1}$ несчетна. Противоречие.

Применяя это утверждение к множествам $A',B'$ доказываем задачу.


Вопросы:
а) Верно ли все?
б) А что будет с утверждением о линейной связности? Этим методом такая задача, увы, не решается вроде бы...
Т.е. верно ли

Цитата:

Пусть $n > 1$. Тогда $X:= \mathbb{R}^n \setminus M$, где $M$ - счетное множество, будет линейно связанным.

и почему?

[vlad239]

Верно конечно.

Возьмите сферу, построенную на отрезке между данными двумя точками как на диаметре. По ее поверхности проходит несчетное число непересекающихся путей из одной точки в другую.

Влад.

[Someone]

id в сообщении #191811 писал(а):

б) А что будет с утверждением о линейной связности? Этим методом такая задача, увы, не решается вроде бы...

Не нравится мне Ваше решение задачи о связности, поскольку вот это рассуждение недостаточно:

id в сообщении #191811 писал(а):

Пусть $Y \subset \mathbb{R}^n, n>1$ - открытое множество с дополнением, имеющим внутреннюю точку, $\partial Y$ счетно.
Это невозможно, если $n>1$. В самом деле, взять эту самую внутреннюю точку, и провести вокруг нее маленькую $S^{n-1}$. Центральные проекции $\partial Y$ на $S^{n-1}$ образуют не более чем счетное множество, в то время как центральная проекция $Y$ на $S^{n-1}$ несчетна. Противоречие.

Вы доказали только, что граница множества $Y$ не может быть сферой. Решение таким способом возможно, но упирается в некоторые нетривиальные теоремы теории размерности. Проще доказывать сразу линейную связность тем способом, который указал vlad239.

[id]

vlad239
Someone
Спасибо, действительно, хорошая идея!

Someone
Немного не понял, почему рассуждение недостаточно.
$Y$ несчетно, открыто $\Rightarrow$ его проекция на сферу, ограничивающую окрестность внутренней точки дополнения будет несчетным. ( в самом деле, у $Y$ же есть внутренняя точка тоже, её достаточно малая окрестность будет проецироваться в открытую, несчетную дугу )
Граница же, т.к. вообще счетна, тоже будет проецироваться в счетное множество.

А это вроде как невозможно.

Добавлено спустя 13 минут 47 секунд:

Что-то не пойму... если $n=2$, то в решении будет фигурировать $S^1$.

Добавлено спустя 8 минут 32 секунды:

Хотя провести континнум путей непересекающихся в случае $\mathbb{R}^2$ можно и без сферы; разобрался.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Хотя... зачем тогда вообще сфера?

[ewert]

Незачем. Просто на двумерном многообразии эти пути проще себе наглядно представить. Можно, скажем, вместо сферы взять плоскость.

[id]

ewert
Да-да, именно это и имел ввиду вопросом "Зачем сфера?".

[Хорхе]

Вставлю пять копеек про линейную связность. Вариант, как можно
доказать ее строго.

Пусть нам надо пройти из $a$ в $b$

Занумеруем точки $M$: $x_1,x_2,\dots$.

Окружим $x_1$ открытой окрестностью радиуса $\min\{1/2,\|x_1- a\|/2,\|x_1- b\|/2\}$. Проведем гладкий путь из $a$ в $b$, избегающий этой окрестности, еще как-то параметризуем его: $\gamma_1(t)$. Это $1$-й шаг Да, и на всякий случай обозначим $O_1$ эту окрестность, то есть выкинутую на этом шаге дырку

Далее на $(n+1)$-м шаге, если $x_n$ принадлежит множеству $O_n$ выкинутого на предыдущих шагах, то нам построенный на предыдущем шаге путь подходит, т.к. он избегает $O_n$. Иначе окружим $x_{n+1}$ окрестностью радиуса $\min\{1/2^{n+1},\|x_{n+1}- a\|/2,\|x_{n+1}- b\|/2,\mathrm{dist}(x_{n+1},O_n)/2\}$. Построенный на прошлом шаге путь $\gamma_n(t)$ может проходить по этой окрестности, мы вместо этого аккуратно пройдем по границе окрестности. Аккуратно - это значит так, чтобы путь остался непрерывным и чтобы параметризация на каждом входе и на выходе совпадала (там не может быть беконечно много входов-выходов, так как путь наш кусочно очень гладкий).

Мы получили путь $\gamma_{n+1}$, который очень близко (не далее, чем на $1/2^n$) к пути $\gamma_n$. Последовательность путей будет фундаментальна в равномерной метрике, а потому куда-то будет равномерно сходится. Ну, а раз равномерно, то полученный в пределе путь будет непрерывным.

[ewert]

после реплики vlad239 это уже выглядит некоторым извращением

[Хорхе]

ewert писал(а):

после реплики vlad239 это уже выглядит некоторым извращением

А кто спорит?

[id]

Хорхе
Ага... Может, и извращение, но симпатичное. Спасибо.

В некотором смысле после той же реплики vlad239 и Someone мое решение первой задачи тоже извращение, однако, если все-таки там есть действительные ошибки, было бы интересно узнать.

[Someone]

id в сообщении #191821 писал(а):

Граница же, т.к. вообще счетна, тоже будет проецироваться в счетное множество.

А это вроде как невозможно.

Вот это "вроде как" содержит некоторые нетривиальные теоремы теории размерности и, соответственно, несколько страниц текста как минимум.

id в сообщении #192143 писал(а):

мое решение первой задачи тоже извращение, однако, если все-таки там есть действительные ошибки, было бы интересно узнать.

Ну, пусть не ошибки, а некоторые пробелы. Чтобы их закрыть, потребуется во много раз больше рассуждений, чем Вы написали.

[id]

Someone
Мне представлялось ( видимо, ошибочно ), что эти проблемы можно обойти примерно следующим рассуждением:
Пусти $y'$ - проекция точки $y \in Y$, не являющаяся проекцией $\partial Y$. Проведем луч $R$ из центра проекции в направлении $y$. $Y':=R \cap Y$ открыто в топологии вещественного луча. Граничные точки $Y'$ будут граничными точками и для $Y$ (точнее, их прообразы из $Y$ при пересечении), из эквивалентного определения граничной точки, как таковой, чьи окрестности пересекают и множество, и его дополнение. И хотя бы одна граничная точка у $Y'$ будет.

А какие теоремы? Интересно все-таки до конца с этим делом разобраться.

[Someone]

id в сообщении #192165 писал(а):

Мне представлялось ( видимо, ошибочно ), что эти проблемы можно обойти примерно следующим рассуждением:
...

Ну, это, в общем-то, та же идея, только в другом оформлении: доказать линейную связность. Вы ведь фактически указываете путь, не пересекающийся с заданным счётным множеством.

id в сообщении #192165 писал(а):

А какие теоремы? Интересно все-таки до конца с этим делом разобраться.

Вы построили открытые множества $A'$ и $B'$. Множество $\Phi=\mathbb R^n\setminus(A'\cup B')$ является перегородкой между двумя замкнутыми шарами, содержащимися в $A'$ и $B'$. Нужно доказать, что $\mathbb R^n$ $n$-мерно, что перегородка в нём не менее чем $(n-1)$-мерна (а так как $n\geqslant 2$, то она не нульмерна). Это вовлекает в рассмотрение большую индуктивную размерность $Ind$, поскольку она определяется как раз через перегородки. Для доказательства $n$-мерности удобно использовать размерность $dim$, определяемую через покрытия, значит, придётся доказывать теорему о совпадении $dim$ и $Ind$. И ещё нужно будет доказать, что счётное множество в $\mathbb R^n$ нульмерно (можно использовать теорему суммы).

В общем, тяжкое это дело. Тем более, что несчётность перегородки легче доказать тем же способом: доказав что счётное множество (и даже множество мощности меньше континуума) можно "обойти" прямолинейным отрезком от одного множества до другого.

П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

[id]

Someone
Да, действительно, фактическое построение пути не углядел.

С размерностями, если честно, не очень-то понял; попробую как-нибудь сам разобраться.

Спасибо!