Мне представлялось ( видимо, ошибочно ), что эти проблемы можно обойти примерно следующим рассуждением:
...
Ну, это, в общем-то,
та же идея, только в другом оформлении: доказать линейную связность. Вы ведь фактически указываете путь, не пересекающийся с заданным счётным множеством.
А какие теоремы? Интересно все-таки до конца с этим делом разобраться.
Вы
построили открытые множества

и

. Множество

является перегородкой между двумя замкнутыми шарами, содержащимися в

и

. Нужно доказать, что

-мерно, что перегородка в нём не менее чем

-мерна (а так как

, то она не нульмерна). Это вовлекает в рассмотрение большую индуктивную размерность

, поскольку она определяется как раз через перегородки. Для доказательства

-мерности удобно использовать размерность

, определяемую через покрытия, значит, придётся доказывать теорему о совпадении

и

. И ещё нужно будет доказать, что счётное множество в

нульмерно (можно использовать теорему суммы).
В общем, тяжкое это дело. Тем более, что несчётность перегородки легче доказать
тем же способом: доказав что счётное множество (и даже множество мощности меньше континуума) можно "обойти" прямолинейным отрезком от одного множества до другого.
П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.