Линия уровня функции, градиент и производная

[Student2007]

Доброго времени суток... подскажите, пожалуйста... немного запутался... Напишу сначала условие задания, потом свое решение и пару вопросов... Заранее спасибо за внимание к теме.
Дана функция $f(x_1 , x_2)$ и точки $P_0 , P_1$. а) Построить линию уровня функции, проходящую через точку $P_0$; б) найти градиент функции в точке $P_0$ ; в) найти производную функции в направлении вектора $\overrightarrow{P_0 , P_1})$.
$f(x_1 , x_2) = 4x_1 ^2+x_2$ - собственно функция. Точки: $P_0(\frac 1 2 ;2), P_1(\frac 3 2 ;1)$.
Задание А я не совсем знаю как его делать, поэтому напишу его последним. Начну с Б.
б) Для того, что бы найти градиент функции, надо найти частные производные этой функции, сооветственно получаем:
$ \frac {df} {dx_1} = 8x_1$;
$ \frac {df} {dx_2} = 1$;
следовательно градиент равен: $grad (f) = (8x_1 , 1)$ или же $grad (f) = (4 , 1)$.

Градиент вроде бы нашел... Теперь буду искать производную функции по направлению:
в) $\overrightarrow{P_0 , P_1}(x^0 _1 - x^1 _1, x^0 _2 - x^1 _2)=$
$=(\frac 3 2 - \frac 1 2 , 1 - 2) = (1,-1)$;
производной функции по направлению будет являтся произведение вектора градиента в начальной точке на вектор направления, тоесть:
$(grad (f)|_P_0 , \overrightarrow{P_0 , P_1}) = (8x_1|_\frac 1 2 , 1) * (1,-1)=$
$=4*1+1*(-1)=3$.

Теперь подзадание а)
Линией уровня функции является скалярное произведение вектора градиента в начальной точке и вектора направления, приравненные к нулю.
$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
обозначим направление буквой V
$(grad (f)|_P_0 , \overrightarrow{V_0 , V_1}) = (4 , 1) * (V_0, V_1)=$
$=4*V_0 + 1 * V_2 = 0$
Вопрос, что делать дальше? по логике приравнять к нулю... Но как?

[gris]

Вектор направления необходимо нормировать. Т.е. разделить на его длину.
Линия уровня это просто уравнение $f(x_1,x_2)=f(P_0)$
Градиент правильно нашли.

[Brukvalub]

Student2007 в сообщении #191711 писал(а):

производной функции по направлению будет являтся произведение вектора градиента в начальной точке на вектор направления

Это неверно.

Student2007 в сообщении #191711 писал(а):

Линией уровня функции является скалярное произведение вектора градиента в начальной точке и вектора направления, приравненные к нулю.

Это тоже неверно.

[Алексей К.]

Student2007 в сообщении #191711 писал(а):

производной функции по направлению будет являтся произведение вектора градиента в начальной точке на вектор направления, тоесть:

Не стал лезть в справочники, но Ваш вектор направления (1,-1) и вектора (10,-10), (1/2,-1/2), (1111,-1111), и проч. задают одно и то же направление (Вы согласны?). А по Вашему методу производные получатся разными. Полагаю, вектор направления следует сначала привести к некому стандартному виду, а именно нормировать. А говоря о произведении следует добвавить слово "скалярное".

[gris]

Student2007 писал(а):

в) $\overrightarrow{P_0 , P_1}(x^0 _1 - x^1 _1, x^0 _2 - x^1 _2)=$
$=(\frac 3 2 - \frac 1 2 , 1 - 2) = (1,-1)$;

В формуле перепутали начало и конец, но посчитали верно - из $P_1$ вычли $P_0$. Осталось найти длину этого вектора.

[Student2007]

gris
да ошибся с написанием...
Длина вектора получается равна 2 м? исходя из этого решение пункта в будет выглядеть?:

в) $\overrightarrow{P_0 , P_1}(x^1 _1 - x^0_1, x^1 _2 - x^0 _2)=$
$=(\frac 3 2 - \frac 1 2 , 1 - 2) = (1,-1)$;
нормируем вектор направления разделив его на его длину:
Длина вектора равна расстоянию между началом и концом вектора, тоесть 2 и получаем
$\overrightarrow{P_0 , P_1}(x^1 _1 - x^0 _1, x^1 _2 - x^0 _2)=(\frac 1 2 , -\frac 1 2)$;

Алексей К.
Да, согласен, что производные в моем случае получаются разные.... После нормирования можно находить скалярное произведение?

тогда определение меняю:


производной функции по направлению будет являтся скалярное произведение вектора градиента в начальной точке на нормированный вектор направления, тоесть:

$(grad (f)|_P_0 , \overrightarrow{P_0 , P_1}) = (8x_1|_\frac 1 2 , 1) * (\frac 1 2,-\frac 1 2)=$
$=4*\frac 1 2 +1*(-\frac 1 2)=1.5$.

так?

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

Brukvalub
а как будет правильно с линией уровня, я знаю, что она будет под углом 90 градусов к направлению градиента, но как это записать ума не приложу....

[Someone]

Student2007 в сообщении #191732 писал(а):

производной функции по направлению будет являтся скалярное произведение вектора градиента в начальной точке на нормированный вектор направления, тоесть:

проекция градиента на вектор направления.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Student2007 в сообщении #191732 писал(а):

Длина вектора равна расстоянию между началом и концом вектора, тоесть 2 и получаем
$\overrightarrow{P_0 , P_1}(x^1 _1 - x^0 _1, x^1 _2 - x^0 _2)=(\frac 1 2 , -\frac 1 2)$;

Неверно. Как вычисляется длина вектора?

[Student2007]

Someone
$|\overrightarrow{P_0 , P_1}|=\sqrt{\ P_0 ^2 + P_1 ^2}$

Да?

[gris]

да

[Student2007]

gris
а проекцию вектора градиента сделать с помощью умножения?

[gris]

Но это не два. Линия уровня это множество точек $(x_1,x_2)$ на котором функция постоянна.

Добавлено спустя 1 минуту:

Вы правильно делали, только с длиной ошиблись

[Алексей К.]

Student2007 в сообщении #191711 писал(а):

Линией уровня функции является скалярное произведение вектора градиента в начальной точке и вектора направления, приравненные к нулю.

Чего-то громоздкое и (мне) непонятное. Может, и правда --- сейчас так учут?
По моему скромному мнению --- линия уровня (в Вашей задаче) есть линия, на которой функция (холмик над плоскостью, впадинка, и то и сё...) принимает одинаковые значения.

Student2007 писал(а):

Дана функция $f(x_1 , x_2)$ и точки $P_0 , P_1$. а) Построить линию уровня функции, проходящую через точку $P_0$;
$f(x_1 , x_2) = 4x_1 ^2+x_2$ - собственно функция. Точки: $P_0(\frac 1 2 ;2), P_1(\frac 3 2 ;1)$.

Поскольку в $P_0(\frac 1 2 ;2)$ $f(x_1,x_2)=3$, то линия уровня есть кривая $4x_1 ^2+x_2=3$, или $4x_1 ^2+x_2-3=0$. Остаётся выяснить, что за кривулька (или этого не требуют?) Параболка, мне кажется...

Добавлено спустя 7 минут 36 секунд:

Student2007 в сообщении #191751 писал(а):

а проекцию вектора градиента сделать с помощью умножения?

Да, проекцию вектора на некое направление определяем с помощью скалярного произведения.

[Student2007]

Алексей К. абстрактно объясняли, что если идти в гору, то существует такое направление, в котором мы не будем ни подниматься на нее ни спускаться с нее .. Или же как вектор, противоположный градиенту...
Форму кривой не требуют... Спасибо:) а что можно почитать, что бы построить кривую по формуле? в моих книгах этого нет..

gris
длину что-то не могу посчитать, получается
gris
длина получается
$|\overrightarrow{P_0 , P_1}|=\sqrt{\ P_0 ^2 + P_1 ^2}=$
$=\sqrt{\ 1 ^2 + 1 ^2}=\sqrt{\ 2};$
Что-то по-моему не правильно...

[Алексей К.]

Student2007 в сообщении #191732 писал(а):

тогда определение меняю:

производной функции по направлению будет являтся скалярное произведение вектора градиента в начальной точке на нормированный вектор направления, тоесть:

Определения следует брать из учебников. Someone Вас поправил: он написал, что такое производная по направлению. А у Вас написано как это нечто искать, что не сильно тянет на определение.

[gris]

Да, правильно.
А градиент в каждой точке линии уровня перпендикулярен касательной к ней в этой точке. Но находить так линию уровня неудобно