формула грина, объяснить противоречие

[Gortaur]

не пойму, в чем дело.
Допустим, $B(0,R)$ - шар. На нем задано гладкое поле $a$, такое что:
1. $div(a)>0$ на $B(0,\frac{R}{2})$
2. $a=0$ на $B(0,R)\setminus B(0,\frac{R}{2})$

Тогда с одной стороны, интеграл по большому шару от дивиргенции больше нуля, с другой стороны, интеграл по границе большого шара (переходим по Грину) равен нулю. В чем противоречие?

[Gafield]

Значит, таких функций не существует.

[ewert]

Gortaur в сообщении #191404 писал(а):

Тогда с одной стороны, интеграл по большому шару от дивиргенции больше нуля, с другой стороны, интеграл по границе большого шара (переходим по Грину) равен нулю. В чем противоречие?

Чтобы стало понятнее, вот Вам ещё одно такое же противоречие, но гораздо проще и, соответственно, нагляднее.

Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке $[-2;2]$ так, что $f'(x)>0$ при $x\in(-1;1)$ и $f(x)\equiv0$ в остальных точках. Имеем вроде как $\int_{-2}^2f'(x)\,dx=f(2)-f(-2)=0.$ Но ведь, с другой стороны, интеграл вроде как положителен...

[Gortaur]

Словом, приклеить гладко так функцию к нулю не получится, не нарушая положительность производной или дивергенции...