Как доказать, что функция симметрична?

[Nxx]

Как доказать или опровергнуть, что функция симметрична?

Вот такая функция, нужно доказать или опровергнуть, что она симметрична относительно оси y=-x:



Известно про нее не много:

- она имеет две асимптоты $x=-2$ и $y=2$
- $f(-1)=0$
- $f(0)=1$
- $f'(0)=f'(-1) \ln \sqrt{2}$

[ИСН]

Сложить лист бумаги по диагонали и посмотреть на свет.
А как ещё-то?

[Nxx]

Дело в том, что функция эта задана аналитически, но задание очень сложное и содержит вложенные ряды и интегралы по контуру в комплексной плоскости. Что-либо сделать с таким определением очень сложно. Но некоторые свойства этой функции известны.

Очевидно, что надо ее сравнить со своим зеркальным отражением. В связи с этим вопрос: могут ли различаться функции, у которых две общие асимптоты и три общие точки помимо этого?

[Gafield]

Может, относительно $y=-x$? Для этого необходимо $f'(-1)=1/f'(0)$. Так что если $f'(0)=\ln^{1/2}\log\sqrt2\approx0.588$, может и быть. На глаз виду графика не противоречит.

А каким образом построен график? Можно же просто нарисовать график и его перевернутый и посмотреть.

[Nxx]

Gafield, в том-то и дело, что ваше соотношение относительно производных, выполняется или нет. График построен на основании первых 17 членов суммы ряда, о котором я говорил, но вычисление сложное очень и дает точные значения только в целых точках.

[Gafield]

Ну и что? В пределах точности построения совпадают два графика или нет?

Для симметричности должно быть выполнено соотношение $f(x)=-f^{-1}(-x)$, где $f^{-1}$ - обратная функция (если я нигде в знаках не напутал). Скажем, если $f(2)$ известно, то можно искать корень уравнения $f(y)=-2$. Если удастся показать, что его корень не равен $-f(2)$, то ответ отрицательный. Ну, а если сойдется несколько знаков... то можно взять точку $x=3$ и т.д.
А точный ответ можно получить только с помощью срогого доказательства.

Цитата:

В связи с этим вопрос: могут ли различаться функции, у которых две общие асимптоты и три общие точки помимо этого?

Конечно, могут.

[Nxx]

Цитата:

Ну и что? В пределах точности построения совпадают два графика или нет?

Да

Цитата:

Для симметричности должно быть выполнено соотношение $f(x)=-f^{-1}(-x)$, где $f^{-1}$ -

Верно. Проблема это доказать.

Цитата:

Конечно, могут.

Но, вероятно, тогда у нее должны быть точки перегиба?

[ewert]

а при чём тут точки перегиба?

Вообще вопрос как-то неправильно поставлен. Если график воистину симметричен, то это если и следует, то, конечно, не из каких-то там разложений в ряды, а из неких общих свойств исходной задачи. Туда и следует смотреть.

[Gafield]

Почему? Через три точки на нарисованном (симметричном) графике можно провести сколько угодно выпуклых графиков функций, удовлетворяющих

Цитата:

$f(x)=-f^{-1}(-x)$

. Например, взяв исходный и симметрично шевеля хвосты где-то далеко. А если шевелить один хвост, получатся несимметричные графики.

А что, производные в целых точках не считаются?

Чтобы услышать что-нибудь более содержательное, имело бы смысл запостить сюда исходную задачу. Так больше шансов получить осмысленный совет. Может, кто-нибудь заметит симметрию, из которой все следует. Или хоть совет, как можно посчитаь с достаточной точностью значения функции в нецелых точках для проверки

[Nxx]

Цитата:

Например, взяв исходный и симметрично шевеля хвосты где-то далеко.

В том-то и дело, что оба хвоста уходят к асимптотам и точек перегиба и прочих неоднородностей (по производным высших порядков) быть не должно.

Цитата:

А что, производные в целых точках не считаются?

Известно только их отношение к производной в нуле.

Цитата:

Или хоть совет, как можно посчитаь с достаточной точностью значения функции в нецелых точках для проверки

Дело в том, что есть несколько разложений, и неизвестно, насколько они эквивалентны. Например, если принять гипотезу симметричности, то получится некое разложение, которое непонятно, эквивалентно ли тому, что на графике, хотя визуально отличий нет. В частности, для гипотезы симметричного графика можно точно посчитать несколько первых производных в нуле.

[Nxx]

Вот файл для системы Mathematica, который вычисляет эту функцию:

http://verger1.narod.ru/sq2kuz.nb

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Дело в том, что функция эта задана аналитически, но задание очень сложное и содержит вложенные ряды и интегралы по контуру в комплексной плоскости. Что-либо сделать с таким определением очень сложно.

А Вы всё-таки выпишите это определение. Может, кто-нибудь и сможет, глядя на него, решить вопрос о симметрии.

Тех же данных, которые приводите Вы, явно недостаточно. Асимптоты, пара значений, связь значений производных в двух точках... очень многие функции могут удовлетворят этим данным, некоторые из них будут симметричными, а некоторые нет. Что касается программы, ссылку на которую Вы даёте, то, может, из неё что-то и можно извлечь, но кому будет охота этим заниматься?

Так что выписывайте нормальное математическое определение. Вложенных рядов и контурных интегралов мы тут не боимся, чай не один раз их видели