Очень маленькая функция.

[AD]

Очень простенькая задачка (по сложности - матан, первый курс), но с быстро разбегающимися обобщениями и усилениями. Предлагаю вот пофлеймить про нее - вдруг чего интересное выйдет.

Пусть $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ и $\lim\limits_{t\to x}f(t)=0$ при всех $x\in[0,1]$. Доказать, что найдется точка $x_0\in[0,1]$ такая, что $f(x_0)=0$.

[Руст]

Возьмите множества $X_n=\{x||f(x)|\le \frac 1n\}$. Эти множества вложены, ограничены [0,1] и замкнуты в силу вашего условия на функцию. Значит их пересечение не пусто

[AD]

Руст в сообщении #191081 писал(а):

Эти множества вложены, ограничены [0,1] и замкнуты в силу вашего условия на функцию.

Неа, могут быть и не замкнутыми. Скажем, $f(x)=\chi_{\{1/2\}}(x)$.

Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд:

И насчет непустого пересечения не понятно. Принцип вложенных "шаров" (просто замкнутых множеств)? Тогда надо бы еще, чтобы диаметры к нулю стремились. (Или на отрезке не надо? На прямой, во всяком случае, надо. Вот и еще задачка )

[Руст]

Замкнутость в силу этого.

AD писал(а):

$\lim\limits_{t\to x}f(t)=0$ при всех $x\in[0,1]$.

В компакте ничего другого не требуется.

[AD]

Руст в сообщении #191100 писал(а):

Замкнутость в силу этого.

Ну вот же я нарисовал $f(x)=\chi_{\{1/2\}}(x)$ - функция условию удовлетворяет, но множество $X_2=\{x:|f(x)|\le\frac12\}=[0,1/2)\cup(1/2,1]$ не замкнуто.

Добавлено спустя 26 секунд:

Руст в сообщении #191100 писал(а):

В компакте ничего другого не требуется.

Ладно, подумаю над этим.

[ewert]

AD писал(а):

Руст в сообщении #191081 писал(а):

Эти множества вложены, ограничены [0,1] и замкнуты в силу вашего условия на функцию.

Неа, могут быть и не замкнутыми. Скажем, $f(x)=\chi_{\{1/2\}}(x)$.

Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд:

И насчет непустого пересечения не понятно. Принцип вложенных "шаров" (просто замкнутых множеств)? Тогда надо бы еще, чтобы диаметры к нулю стремились. (Или на отрезке не надо? На прямой, во всяком случае, надо. Вот и еще задачка )

1). Если $\{x_k\}\subset X_n$ и $x_k\to x^*$, то $f(x^*)=0$ и, стало быть, $x^*\in X_n.$

2). И на прямой не обязательно. В любом конечномерном пространстве пересечение вложенных ограниченных замкнутых множеств непусто. Просто благодаря локальной компактности.

[AD]

ewert в сообщении #191114 писал(а):

Если $\{x_k\}\subset X_n$ и $x_k\to x^*$, то $f(x^*)=0$

А ничего, что в цитируемом Вами моем сообщении как раз написан контрпример к этому утверждению?

Добавлено спустя 50 секунд:

ewert в сообщении #191114 писал(а):

И на прямой не обязательно.

Ага, согласен, если ограниченность есть, то никакой прямой нет, тут я был не прав.

Добавлено спустя 15 минут 2 секунды:

Вообще, эта задача очень полезна тем, что напоминает, что в определении предела функции встречается слово "проколотая окрестность". И что предел не всегда равен значению функции в точке. А то как-то я лично уже стал это забывать, и придумывать решения вида "для каждой точки выберем окрестность, в которой функция меньше $\varepsilon$, значит и вся функция меньше $\varepsilon$"

[worm2]

Я бы стал доказывать по-другому. Для $\varepsilon=\frac 1n$ в каждой точке $x$ отрезка выберем своё $\delta(\varepsilon,x)$, чтобы во всей проколотой $\delta$-окрестности точки $x$ $|f(x)|<\varepsilon$. Поскольку отрезок - компакт [первокурсники могут не знать про компакты, но соответствующую теорему они всё равно проходят], то из этой системы проколотых окрестностей можно выбрать конечное множество, которое покрывает весь отрезок за исключением конечного числа точек (центров проколотых окрестностей) и внутри которого $|f(x)|<\varepsilon$. Т.е. множество $\{x: |f(x)|>1/n\}$ конечно, а объединение счётного числа конечных множеств даёт нам не более чем счётное множество, в котором $f$ отлична от 0.

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

Да, насчёт проколотости есть такое дело
Поймал себя на том, что лично я в лекциях (когда мне нужно раскрыть определение предела) никогда не упоминаю о проколотости. Мне это, в некотором смысле, простительно: я веду у третьего курса физиков, не матан, но всё равно нехорошо как-то получается

[AD]

worm2. О, вот это уже правильно . И заодно первое обобщение: множество точек, где $f\neq0$, не более чем счетно.

А теперь - нет ли желающих обобщить результат на любые топологические пространства (в роли областей определения)? Это ведь будет какой-то топологический инвариант - свойства таких функций. То есть в компактах всё то же самое, видимо.

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

worm2 в сообщении #191126 писал(а):

никогда не упоминаю о проколотости

Думаю, что это происходит потому, что понятие непрерывности используется гораздо чаще, чем пределы сами по себе. Или нет?

Добавлено спустя 11 минут 38 секунд:

У меня первая мысль была такая. Берем проколотую окрестность, где $|f|<1$, в ней берем отрезок (с любой стороны), в нем - еще проколотую окрестность, где $|f|<1/2$, в ней - еще отрезок, и т.д., и на пересечении отрезков имеем $|f|<1/n$ для всех $n$.

Но Ваше рассуждение сильнее вышло сразу.

[worm2]

А... ну да. Всё правильно. Понятие предела функции само по себе, без непрерывности, я не использую, и поэтому "нехорошо получается" у меня в голове, но наружу не всплывает

[AD]

(сам с собой разговариваю)

AD в сообщении #191131 писал(а):

обобщить результат на любые топологические пространства

А можно еще над понятием предела поизвращаться. Скажем, предлагаю доказать, что если измеримая функция $f$ аппроксимативно стремится к нулю всюду на $[0,1]$, то $f=0$ почти всюду.
Это, наверное, даже проще, потому что можно пользоваться всякой теорией, которая, впрочем, гораздо более известна, чем определение аппроксимативного предела

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Напомню, что "аппроксимативный" предел (он же "асимптотический") измеримой функции $f$ в точке $x$ равен $a$ - это когда существует измеримое множество $E$, такое, что $\lim\limits_{E\ni t\to x}f(t)=a$ и $\lim\limits_{h\to0}\frac{\mu([x-h,x+h]\setminus E)}{2h}=0$.

[id]

На совсем произвольные топологические пространства, с пределами по фильтрам?

Для обычных метрических компактов все вроде действительно не меняется.

Последнее ( про предел ) почему-то вызвало желание применить т. Витали.

[AD]

id в сообщении #191167 писал(а):

На совсем произвольные топологические пространства, с пределами по фильтрам?

Либо я что-то не понимаю, либо одно из двух, но я не вижу, какие тут проблемы возникают.

id в сообщении #191167 писал(а):

Последнее ( про предел ) почему-то вызвало желание применить т. Витали.

Ухх Было бы интересно послушать "лобовое" решение, основанное на таком подходе.

[id]

AD
Меня лично ( ну, может я не понимаю, вероятно вполне ) смутила в таком случае запись $\lim\limits_{t\to x}f(t)=0$.
А смутила потому, что привык к ситуации, когда через $y = \lim\limits_{x\to a}f(x)$ обозначается предел ( предельная точка ) по фильтру окрестностей точки $a$, а не проколотых окрестностей.
Хотя, конечно, это мелочь.

Для метрических компактов все вроде так, но не совсем - нужно еще потребовать несчетность.
Аналогично, в общем случае с пределом по фильтрам проколотых окрестностей ( если двигаться вышеописанным путем ) нужно требовать существование несчетного компакта ( на котором и будет приниматься нулевое значение ) Есть, кстати, теорема Александрова-Урысона о том, что всякий компакт без изолированных точек имеет мощность большую, либо равную континууму - еще одно облегчающее условие.

Ну... там было просто желание, ассоциация с окончанием решения worm2.

[RIP]

AD в сообщении #191162 писал(а):

предлагаю доказать, что если измеримая функция $f$ аппроксимативно стремится к нулю всюду на $[0,1]$, то $f=0$ почти всюду.

Если обозначить $E_n=\{x\in[0;1]\mid|f(x)|>1/n\}$, то в каждой точке $x\in[0;1]$ по условию выполнено

$$\lim_{h\to+0}\frac{\mu(E_n\cap[x-h;x+h])}h=0,$$

а почти всюду на $E_n$ этот предел равен 2. Значит, $\mu E_n=0$.

Да и исходная задача решается вообще без всякой науки: все $E_n$ дискретны, поэтому не более чем счётны (на самом деле конечны, поскольку они вообще без предельных точек, но нам это не нужно). Интересно, что, как показывает пример функции Римана

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\cos^{2k}(\pi kx)$$

, вряд ли можно сказать что-то больше.