DoGGy писал(а):
Помогите разобраться с задачей:
Металлический шар радиуса R1, заряженный до потенциала Ф1 окружают концентрической проводящей оболочкой радиуса R2. Чему станет равен потенциал шара, если заземлить внешнюю оболочку ?
Запишу на всякий случай формулировку задачи с использованием LaTeX.
Металлический шар радиуса
![$R_1$ $R_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e1dcfc6c3009ba241e86add0e87a9d182.png)
, заряженный до потенциала
![$\varphi_1$ $\varphi_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617ae4e33b0219913a27b693af246aa782.png)
окружают концентрической проводящей оболочкой радиуса
![$R_2$ $R_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05f4ca837f07995f711e9df7b84e1c0782.png)
. Чему станет равен потенциал шара, если заземлить внешнюю оболочку?
Раз ничего не говорится о расстоянии от шара до Земли, но, наверное, следует полагать, что Земля удалена в бесконечность, т.е. пренебрегать взаимной емкостью шара и Земли. Тогда, если считать, что потенциал отсчитывается от потенциала Земли (т.е. потенциал Земли и, в данном случае, потенциал на бесконечности равны нулю), заряд шара
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
определяется формулой
т.е.
На мой згляд, при такой формулировке задачи следует полагать, что шар окружают оболочкой так, чтобы не допустить контакта оболочки с шаром, т.е. заряд шара не меняется. Тогда потенциал оболочки
и, хотя внутри внутри оболочки происходит поляризация заряда, поле вне оболочки не изменяется. Поскольку толщина оболочки равна нулю, то не изменяется и потенциал вне ее. Хочу отметить, что при ненулевой толщине оболочке, несмотря на то, что поле вне ее тоже не измениться, потенциал внутри оболочки изменится; в частности, потенциал шара будет
(
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
--- толщина оболочки,
![$R_2$ $R_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05f4ca837f07995f711e9df7b84e1c0782.png)
--- ее внешний радиус).
Если оболочку заземлить, то (если считать, что размер Земли много больше радиуса шара) на нее с Земли перейдет такое количество заряда, чтобы ее потенциал стал равен нулю, т.е. заряд приобретенный оболочкой
![$Q_2$ $Q_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/5/d455ef8f60a853c27a0abd1e49898ea082.png)
определяется из условия
При этом, поскольку заряд на шаре как был
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
, так
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и остался, а поле равномерно распределенного по внешней поверхности оболочки заряда равно нулю внутри оболочки, имеем для радиальной (и единственной) компоненты напряженности электрического поля между поверхностью шара и внутренней поверхностью оболочки
где
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
--- расстояние от центра шара до точки, где вычисляется
![$E_r$ $E_r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/a/01affdbed8321604b379c62227f30af082.png)
. Потенциал электрического поля
![$\varphi(r)$ $\varphi(r)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/1/9b136e9488c4d8fa7317e24d099c396782.png)
между поверхностью шара и внутренней поверхностью заземленной оболочки определяется из формулы
В частности,
Ну и напоследок отмечу, что для вышеупомянутой оболочки с толщиной
![$$
\varphi_1'
=
\varphi_1\left(1-\dfrac{R_1}{R_2-d}\right)
.
$$ $$
\varphi_1'
=
\varphi_1\left(1-\dfrac{R_1}{R_2-d}\right)
.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/6464a8d02b771a59cfcca11810a6675482.png)