Метод суммирования Варшамова Р.Р.

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В математике мнения даже авторитетных людей иногда ничего не стоят, важны лишь доказательства, вот Мертенс привел свои доказательства.

С авторитетом у меня может и не очень, но доказательства есть.
Наверное, я не совсем правильно выразился. Я тут между делом получил оценку остаточного члена для решета Эратосфена-Лежандра:

$\pi \left( x \right) - \pi \left( {\sqrt x } \right) + 1 = x\prod\limits_{i = 1}^r {\left( {1 - \frac{1} {{p_i }}} \right)} + R\left( x \right)$,

где $p_r \leqslant \sqrt x < p_{r + 1} $

Если «выразиться» грубо, то оценка такова:$\left| {R\left( x \right)} \right| < r$ . Этого достаточно, на мой взгляд, чтобы утверждать противоречие формулы Мертенса асимптотическому закону. Во избежание лишних вопросов, я имею в виду его формулу

$e^\gamma = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\ln n}}\prod\limits_{p \leqslant n} {\left( {1 - \frac{1} {p}} \right)^{ - 1} } $

(взята из «Collection of formulae for Euler’s constant $\gamma $»).
Для полного комплекта

$\frac{x} {{\ln x}} \approx \pi \left( x \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\pi \left( x \right)}} {x} \to 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt x }} {x} \to 0$

Вот мне и кажется, что все эти выражения не могут быть верными одновременно. Или я ошибаюсь?
Только, пожалуйста, не просите здесь выложить это доказательство, а то мне опять придется придумывать отписку. В свое время все узнаете.

[Котофеич]

Уважаемый AndAll. Кто о чем, а Вы о формуле Мертенса, которую я отрыл в этой дурацкой виклинпендии. Ведь в этой теме мы обсуждаем метод академика Варшамова. Помогайте искать ошибки или наооборот, подтвердить его правоту. И потом что мы в свое время узнаем и откуда мы это узнаем, надо полагать из газет Что Вы хотите сказать, или на что конкретно, Вы намекаете -- что мы скоро узнаем, что Вы опровергли гипотезу Римана и потом отказались от премии в пользу научной мафии

[RIP]

AndAll
Формула Мертенса верна и нисколько не противоречит асимптотическому закону распределения простых чисел. Просто Ваша оценка остаточного члена неверна.. В этой теме что-то подобное уже обсуждалось. А вот здесь даже приводятся результаты численного эксперимента.


P.S. Sorry за оффтоп.

[Котофеич]

RIP писал(а):

AndAll
Формула Мертенса верна и нисколько не противоречит асимптотическому закону распределения простых чисел. Просто Ваша оценка остаточного члена неверна..

Ну вот. Не успеет кто нить сделать открытие , как тут же доброжелатели, найдут ошибку.

[AndAll]

Котофеич писал(а):

:evil: Уважаемый AndAll. Кто о чем, а Вы о формуле Мертенса, которую я отрыл в этой дурацкой виклинпендии. Ведь в этой теме мы обсуждаем метод академика Варшамова. Помогайте искать ошибки или наооборот, подтвердить его правоту.

Артамонов Ю.Н. писал(а):

...что согласуется с приведенной ниже формулой Мертенса

Просто я подумал, что если что-то согласуется с неверной формулой, то это что-то само может оказаться неверным.

RIP писал(а):

AndAll
Формула Мертенса верна и нисколько не противоречит асимптотическому закону распределения простых чисел. Просто Ваша оценка остаточного члена неверна

Ну, это настолько банально и всем ясно, что можно было бы и не писать.

Котофеич писал(а):

: И потом что мы в свое время узнаем и откуда мы это узнаем, надо полагать из газет Что Вы хотите сказать, или на что конкретно, Вы намекаете -- что мы скоро узнаем, что Вы опровергли гипотезу Римана и потом отказались от премии в пользу научной мафии

Во-первых, я не собираюсь опровергать, а скорее наоборот.
А во-вторых, Вы же понимаете, что с одной стороны, это может себе позволить только гений, а с другой стороны – я что, похож на идиота. Пусть мафия зарабатывает на них..

Котофеич писал(а):

Ну вот. Не успеет кто нить сделать открытие , как тут же доброжелатели, найдут ошибку.

Нельзя найти то, чего нет. Тем более не искамши.

[juna]

AndAll
1. Вашу формулу Мертенса лучше уточнитьтак. Она получается как раз из асимптотического закона если подставить $p_n=n\ln n$, тогда $\ln p_n=\ln n+\ln(\ln(n))$
2. У Мертенса этих формул и соответственно теорем не одна
3. Все они согласуются с численным экспериментом
4. Если есть желание обсудить ваши взгляды, то, думаю, целесообразно завести отдельную тему.
P.S. To Котофеич. Может есть смысл еще раз переименовать тему, ведь к теореме Ферма Варшамов имеет малое отношение, к тому же народ уже выработал иммунитет к данной теореме.

Dan_Te:

Поправил ссылку.

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Котофеич. Может есть смысл еще раз переименовать тему, ведь к теореме Ферма Варшамов имеет малое отношение.

Почему Он же пишет, что доказал ее своим методом для р>11.

[Котофеич]

Котофеич писал(а):

:evil: Упорядочить, вообще говоря, Вы можете как захотите. Т.е. с достаточно большим произволом. У Варшамова одновременно используются две порядковых структуры стандартная:
1).$<$ и некая дополнительная нестандартная
2).$<^{*}$
http://lib.mexmat.ru/books/1649
Так что к примеру
3).$-1<1$ и одновременно
4).$1<^{*}-1$
Варшамов это дело не подчеркивает, а зря.
Вожно только чтобы у Вас при таком дополнительном упорядочении, появились некие бесконечные элементы в смысле Робинсона, а точнее даже более сложной природы...
Которые являются элементами неархимедова поля .$ R^{*} _{D} $
оснащенного аж двумя порядковыми структурами
5).$<,<^{*}$
И которые лучше обозначить вот так

$$\omega{*},\omega{*}+1,..., \omega{*}+n,... $$

,
http://lib.mexmat.ru/books/1649
У Варшамова при его упорядочении, роль таких элементов выполняют обычные отрицательные числа.$-1,-2,-3, ...-n,...$
Вместо

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=-1/2$$

,
следует писать

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=\omega{*}/2$$

.
Обозначения Варшамова без специального разъяснения, которое у него отсутствует, создают путаницу, потому что простой народ недоумевает, а
как это сумма бесконечного ряда с положительными членами, конечна да ешо и отрицательна
В теоретической физике, такие методы суммирования применяются уже лет 50 и называются
методом перенормировок. Фейнман за это дело получил нобеля. Физиков уже давно не смущает что

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}1=1/2$$

или что также

$$\Sigma_{n=0} ^{n<\omega}n= -1/12 $$

.
Последнее равенство имеет в теории бозонной струны, даже абсолютно четкую физическую интерпретацию
Разумеется для большинства современных математиков, которые кроме арифметики Магницкого ничего больше не осилили, это все может казаться странным или даже диким

Не очень сложно понять, применяя простые приемы нестандартного анализа,
http://lib.mexmat.ru/books/9431
что бесконечные Эйлеровские числа, например такие как

$$H=\Sigma_{n=1}^{n<\omega} \left(\frac {1} {n} \right) $$

. это элементы поля
$ R^{*} _{D} $ или его подполя $ R^{*} $. Так например

$$\Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1 \in R^{*} $$

.
Для того чтобы придать бесконечной сумме вида

$$\Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1 $$

содержательный смысл как элемента поля $ R^{*} $ достаточно рассмотреть бесконечную последовательность частичных сумм расходящегося ряда

$$\Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1 $$

.
В данном случае это просто последовательность всех натуральных чисел, т.е.

$$1,2,3,...,k,... $$

. Возьмем теперь произвольный свободный ультрафильтр

$$F$$

на множестве натуральных чисел

$$N$$

. Тогда мы можем
ввести следующее определение

$$ \Sigma_{n=1} ^{n<\omega}1 = [1,2,3,...,k,... ] mod(F)$$

.
Здесь символ

$$ [1,2,3,...,k,... ] mod(F)$$

обозначает класс эквивалентности
счетной последовательности

$$1,2,3,...,k,... $$

относительно ультрафильтра

$$F$$

. Ясно что

$$ [1,2,3,...,k,... ] mod(F)\in R^{*} $$

.
Альбеверио в своей книжке Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике
http://www.edurss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=& ... ru&list=54
обозначает этот класс символом

$$\omega$$

(cм.гл. I стр.32)
Лучше (чтобы не создавать путаницы с порядковыми числами) использовать другое обозначение, например

$$[1,2,3,...,k,... ] mod(F)=\omega{*}$$

,
Аналогичным образом поступаем с расходящимся рядом

$$H=\Sigma_{n=1}^{n<\omega} \left(\frac {1} {n} \right) $$

, который Эйлер прменил для доказательства своей известной теоремы о сумме ряда Эйлера-Гольдбаха:

$$ \Sigma_{n>1,m>1} ^{n< \omega , m< \omega } \frac {1} {m^{n} -1}=1$$

.

[Alik]

У меня большое подозрение, что математика Варшамова - это ветка нетрадиционного анализа, имеется ввиду классика: A. Robinson, "Non-standard Analysis". Господа математики, объясните инженеру на пальцах в чем разница и возможно ли применить варшамовские выкладки аналогично тому как робинзоновские применены в этой статье?
A. H. Zemanian, "A Circuit-Theoretic Anomaly Resolved by Nonstandard Analysis"
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0509/0509261v1.pdf

[Pi]

Ну люди в понятие стандартного анализа не входит понятие только единственно возможного.

Знаете ли вы что верна следующая теорема (1).
В множестве целых положительных чисел N_+

$$\sum_{n=1}^\infty 1 = -1$$

.
И более обще,

$$\sum_{n=1}^\infty k = -k, k \in N_+$$

.
Доказательство: элементарно.
Для первой формулы запишем, например, в десятичной системе последние несколько цифр максимального, принадлежащего этому множеству, числа ...(9)9999. В этом числе все цифры будут девятками и они занимают все возможные позиции доступные для чисел в этом множестве. Ясно что данная сумма обязательно достигнет и не пропустит данное число.
Если же мы к девятке прибавим 1, то мы получим 0. Различие не будет ни в одной конечной цифре, только в "бесконечно удаленной" цифре которая не принадлежит этому множеству так как для девяток мы использовали все позиции. Аналогично 0,9(9) - 1.0(0) = 0. Но -1 + 1 = 0. Значит сумма равна -1. Ведь X+1 определенно однозначно.
Случай с произвольным целым k, доказывается аналогично или просто перемножением $k \cdot -1=-k$.

А что тут удивляться? Давным давно известно разложение в ряд $(1+x)^{1/2}$. При x=-2 это разложение дает мнимую единицу i. Иначе говоря, чисто вещественный ряд дает выход за пределы вещественного множества в другое множество (множество комплексных чисел).

А все почему, потому-что множество чисел не является бореллевским множеством. То есть замкнутым относительно операции бесконечного суммирования. Иначе говоря, про числовые множества нигде небыло сказанно что множество является Алгеброй, что равносильно что для него выполняется полугруповое свойство замкнутости $a*b=c, \forall a,b,c\in$N и всех операциях *. Вообще полное обозначение любой операции в алгебре есть $(a*b) mod N =c$. Именно оно превращает произвольную операуцию * в алгебраически замкнутую.
(Просто мы психологически настолько привыкли подразумевать именно это, да и во всех книгах по алгебрам просто говорят что операция замкнута и все (неявно опускают mod N), а в книгах не по алгебре опускают что она разомкнута.)

Более того, из теоремы Кантора можно доказать следующию теорему (2).
Если бесконечное множество чисел A вложенно в множество чисел B и множество B в любой конечной области равномощно некотрой конечной области множества A, то в бесконечности множества A содержатся все конечные числа множества B.

Кстати так поступают в так называемых "-аддических" (квазибесконечных) числах.

Добавлено спустя 1 час 21 минуту 34 секунды:

AlexDem писал(а):

А вот как на основе (9) и (14') получен вывод о том, что "пространство хотя и неограниченно, но конечно и замкнуто", изложенный в заключении на стр. 107?

(9) $\lim\limits_{n \to \infty}(n, -n) = \emptyset$
(14') $\lim\limits_{n \to \infty}(n + 1) = \lim\limits_{n \to \infty}(-n)$

Я так понимаю, что эти две формулы говорят, что $-\infty$ следует сразу за $\infty$.

Я не читал Варшамова, но это конечно же полный бред если он утверждает что всякая бесконечность имеет эти свойства. Поскольку, о какой бесконечности идет речь? Ведь бесконечностей $\infty$ бесконечное количество.
Если жн он принимает (9) и (14) за определение бесконечности в его пространстве, то тогда такое может быть по определению. Ведь скажем в десятичной системе счисления -...(5)5 =...(5)5, то есть такое число существует и тогда он определяет (сужает) пространство с такими свойствами.
Но тогда его теория это не какое-то обобщение, а теория частного случая определенного его соотношением и ни могущая претендовать на что либо новое и фундаментальное. Думаю что особой пользы этот частный случай принести не может, а уж тем более утверждать что (всякое) пространство имеет именно такую узко-частную структуру является не обоснованно.

[AlexDem]

Pi в сообщении #191012 писал(а):

Я не читал Варшамова, но это конечно же полный бред если он утверждает что всякая бесконечность имеет эти свойства.

Я думаю, что он получил этот вывод о конечности из того, что каждое открытое покрытие компакта имеет конечное подпокрытие. Если мы рассмотрим окрестности единичного радиуса с центрами в целых числах, то в связи с этим число их должно быть конечно. Возможно, он имел в виду ситуацию, схожую с длиной записи чисел натурального ряда - максимальную длину мы указать не можем, но знаем, что она всегда остаётся конечной. Хотя неограниченность с конечностью что-то плохо уживается в моей голове

Остальные Ваши выводы мне не совсем понятны - возможно, я так далеко не забирался

[Pi]

AlexDem писал(а):

Я думаю, что он получил этот вывод о конечности из того, что каждое открытое покрытие компакта имеет конечное подпокрытие.

Вот в том-то все и дело что множество чисел не является компактом. Для этого мы должны сказать что мы рассматриваем топологическое пространство гомеоморфное множеству чисел и объявляем его компактом.
Произвольное множество не является компактом. И числовые тоже, потому-что в нем есть расходящиеся суммы. Еслиб они были компактами то б их небыло по определению.

Вообще надо понимать, что компакт, борелевское множество, группоид это из разных областей математики - но все они обозначают одну и туже сущность - замкнутость относительно бесконечного количества операций
Для Топологии это компакты.
Для Теории меры это борелевские пространства.
Для Алгебры это группоиды.
В сущности это (почти) синонимы, но для произвольного множества мы должны сказать что выполняется хотябы одно по-определению.

Поэтому, тот факт что некотрая расходящияся сумма в одном множестве сходится в другом множестве, не может быть выведен из бредового утверждения что бесконечность конечна, а только из предыдущей теоремы.

[AlexDem]

Pi в сообщении #191076 писал(а):

Вот в том-то все и дело что множество чисел не является компактом. Для этого мы должны сказать что мы рассматриваем топологическое пространство гомеоморфное множеству чисел и объявляем его компактом.

Ужас какой . Нельзя говорить о гомеоморфизме со множеством, так как на нём нет никаких определённых заранее окрестностей. Можно определить топологическую группу - когда алгебраическая структура согласована с топологической.

Pi в сообщении #191076 писал(а):

полугруппа это из разных областей математики - но все они обозначают одну и туже сущность - замкнутость относительно бесконечного количества операций

По-моему, здесь Вы ошибаетесь. $<N, +>$ - безусловно полугрупа (ассоциативная бинарная операция), но расходящиеся суммы там есть.

Pi в сообщении #191076 писал(а):

Поэтому, тот факт что некотрая расходящияся сумма в одном множестве сходится в другом множестве, не может быть выведен из бредового утверждения что бесконечность конечна, а только из предыдущей теоремы.

Я там не понял, что такое конечные числа, и где посмотреть доказательство?

[Alik]

Сейчас случайно и бесследно удалил варшамовскую книжку, люди поможите пожалуйста djvu файлом

[AlexDem]

Кто скинет мне свой адрес, я перешлю