Ну люди в понятие стандартного анализа не входит понятие только единственно возможного.
Знаете ли вы что верна следующая теорема (1).
В множестве целых положительных чисел
.
И более обще,
.
Доказательство: элементарно.
Для первой формулы запишем, например, в десятичной системе последние несколько цифр максимального, принадлежащего этому множеству, числа ...(9)9999. В этом числе все цифры будут девятками и они занимают все возможные позиции доступные для чисел в этом множестве. Ясно что данная сумма обязательно достигнет и не пропустит данное число.
Если же мы к девятке прибавим 1, то мы получим 0. Различие не будет ни в одной конечной цифре, только в "бесконечно удаленной" цифре которая не принадлежит этому множеству так как для девяток мы использовали все позиции. Аналогично 0,9(9) - 1.0(0) = 0. Но -1 + 1 = 0. Значит сумма равна -1. Ведь X+1 определенно однозначно.
Случай с произвольным целым k, доказывается аналогично или просто перемножением
.
А что тут удивляться? Давным давно известно разложение в ряд
. При x=-2 это разложение дает мнимую единицу i. Иначе говоря, чисто вещественный ряд дает выход за пределы вещественного множества в другое множество (множество комплексных чисел).
А все почему, потому-что множество чисел не является бореллевским множеством. То есть замкнутым относительно операции бесконечного суммирования. Иначе говоря, про числовые множества нигде небыло сказанно что множество является Алгеброй, что равносильно что для него выполняется полугруповое свойство замкнутости
N и всех операциях *. Вообще полное обозначение любой операции в алгебре есть
. Именно оно превращает произвольную операуцию * в алгебраически замкнутую.
(Просто мы психологически настолько привыкли подразумевать именно это, да и во всех книгах по алгебрам просто говорят что операция замкнута и все (неявно опускают mod N), а в книгах не по алгебре опускают что она разомкнута.)
Более того, из теоремы Кантора можно доказать следующию теорему (2).
Если бесконечное множество чисел
A вложенно в множество чисел
B и множество
B в любой конечной области равномощно некотрой конечной области множества
A, то в бесконечности множества
A содержатся все конечные числа множества
B.
Кстати так поступают в так называемых "-аддических" (квазибесконечных) числах.
Добавлено спустя 1 час 21 минуту 34 секунды:
AlexDem писал(а):
А вот как на основе (9) и (14') получен вывод о том, что "пространство хотя и неограниченно, но конечно и замкнуто", изложенный в заключении на стр. 107?
(9)
(14')
Я так понимаю, что эти две формулы говорят, что
следует сразу за
.
Я не читал Варшамова, но это конечно же полный бред если он утверждает что всякая бесконечность имеет эти свойства. Поскольку, о какой бесконечности идет речь? Ведь бесконечностей
бесконечное количество.
Если жн он принимает (9) и (14) за определение бесконечности в его пространстве, то тогда такое может быть по определению. Ведь скажем в десятичной системе счисления -...(5)5 =...(5)5, то есть такое число существует и тогда он определяет (сужает) пространство с такими свойствами.
Но тогда его теория это не какое-то обобщение, а теория частного случая определенного его соотношением и ни могущая претендовать на что либо новое и фундаментальное. Думаю что особой пользы этот частный случай принести не может, а уж тем более утверждать что (всякое) пространство имеет именно такую узко-частную структуру является не обоснованно.