2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел последовательности
Сообщение02.03.2009, 11:17 


26/12/08
1813
Лейден
Господа, помогите.
Необходимо объяснить человеку смысл предела последовательности - по возможности просто, а не "для того, чтобы отделить актуальную бесконечность от формальной".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 11:20 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну а чем стандартное не подходит - "Последовательность приближается сколь угодно близко к 'пределу' при достаточно больших номерах"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 11:23 


26/12/08
1813
Лейден
Поясню вопрос - зачем было введено это понятие кроме аксиоматики. Почему именно все члены последовательности начиная с некоторого номера должны лежать в окрестности этой точки?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 11:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Потому, что в большинстве задач точное решение невозможно, но можно надеяться приблизиться к нему сколь угодно точно. Однако понятие "приблизиться" нуждается в формализации. Предел последовательности для этого и служит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 12:07 
Админ форума
Аватара пользователя


20/01/09
1376
Gortaur в сообщении #190905 писал(а):
Почему именно все члены последовательности начиная с некоторого номера должны лежать в окрестности этой точки?


А какие есть другие варианты?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 12:09 


26/12/08
1813
Лейден
просто - для любой окрестности числа в ней лежит бесконечно много точек последовательности

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 12:11 
Админ форума
Аватара пользователя


20/01/09
1376
Такое понятие тоже есть и оно называется частичным пределом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 12:31 


26/12/08
1813
Лейден
я знаю, что данное понятие есть. Я имею ввиду как объяснить зачем условие что ВСЕ точки начиная с какого-то номера лежат в окрестности предела?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 12:33 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну представьте себе последовательность 0, 1, 0, 1, ..., и объясните, что считать число 1 ее пределом нехорошо как-то.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 13:20 


29/09/06
4552
Бытовуху привлеките какую-нибудь. Можно и Ахиллеса с черепахой, можно чайник поставить остывать, и регулярно температуру замерять. Желательно обойтись при этом без демагогии про то, что к ночи сама температура окружающей среды изменится, или что сама пещера (образ термостата) будет нагреваться от чайника, и проч. Каждый час разность температур уменьшается, скажем, вдвое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 13:40 


26/12/08
1813
Лейден
В Вашем случае рассматриваются только монотонные последовательности. Собственно оно и ясно - если мы с каждым разом все лучше приближаем предел приблизительными измерениями, то все ок. Можно обойтись инфимумом-супремумом.

А есть ли пример немононтонных сходящихся бытовых последовательностей? Только тоже без демагогии вроде "ну, каждый второй раз мы плохо измеряли, поэтому сходимость немонотонна"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 13:56 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Gortaur в сообщении #190968 писал(а):
А есть ли пример немононтонных сходящихся бытовых последовательностей?
Берём кран в ванной (для простоты - типа "смеситель"), и начинаем настраивать воду до комфортной температуры. Как мы это делаем? Потеплее, потом похолоднее, потом опять потеплее, потом опять похолоднее ... и так далее, пока не станет хорошо. :D

Это даже на тему признака Лейбница пример получился. Погрешность последним слагаемым оценивается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 14:00 


26/12/08
1813
Лейден
Браво, мне нравится. Надеюсь, это многое объяснит :)
С другой стороны, сходимость все равно получается монотонная, т.е. $|x_{n+1}-x|<|x_n-x| \forall n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 14:19 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Gortaur в сообщении #190979 писал(а):
сходимость все равно получается монотонная
Ну ладно, вот Вы в определенный момент от нетерпения разозлились - и рванули кран влево больше положенного. А потом, когда остыли - дошло, что снова сначала начинать придётся ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2009, 14:43 


26/12/08
1813
Лейден
Ну сами посудите, я же человек спокойный, зачем мне так поступать?

Кстати, нам на лекции матана рассказывали, что классический анализ - бесконечно малых, но мол есть и другие. Что имелось ввиду, не подскажите?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gagarin1968


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group