Предел последовательности

[Gortaur]

Господа, помогите.
Необходимо объяснить человеку смысл предела последовательности - по возможности просто, а не "для того, чтобы отделить актуальную бесконечность от формальной".

[AD]

Ну а чем стандартное не подходит - "Последовательность приближается сколь угодно близко к 'пределу' при достаточно больших номерах"?

[Gortaur]

Поясню вопрос - зачем было введено это понятие кроме аксиоматики. Почему именно все члены последовательности начиная с некоторого номера должны лежать в окрестности этой точки?

[ewert]

Потому, что в большинстве задач точное решение невозможно, но можно надеяться приблизиться к нему сколь угодно точно. Однако понятие "приблизиться" нуждается в формализации. Предел последовательности для этого и служит.

[Prorab]

Gortaur в сообщении #190905 писал(а):

Почему именно все члены последовательности начиная с некоторого номера должны лежать в окрестности этой точки?

А какие есть другие варианты?

[Gortaur]

просто - для любой окрестности числа в ней лежит бесконечно много точек последовательности

[Prorab]

Такое понятие тоже есть и оно называется частичным пределом.

[Gortaur]

я знаю, что данное понятие есть. Я имею ввиду как объяснить зачем условие что ВСЕ точки начиная с какого-то номера лежат в окрестности предела?

[AD]

Ну представьте себе последовательность 0, 1, 0, 1, ..., и объясните, что считать число 1 ее пределом нехорошо как-то.

[Алексей К.]

Бытовуху привлеките какую-нибудь. Можно и Ахиллеса с черепахой, можно чайник поставить остывать, и регулярно температуру замерять. Желательно обойтись при этом без демагогии про то, что к ночи сама температура окружающей среды изменится, или что сама пещера (образ термостата) будет нагреваться от чайника, и проч. Каждый час разность температур уменьшается, скажем, вдвое.

[Gortaur]

В Вашем случае рассматриваются только монотонные последовательности. Собственно оно и ясно - если мы с каждым разом все лучше приближаем предел приблизительными измерениями, то все ок. Можно обойтись инфимумом-супремумом.

А есть ли пример немононтонных сходящихся бытовых последовательностей? Только тоже без демагогии вроде "ну, каждый второй раз мы плохо измеряли, поэтому сходимость немонотонна"

[AD]

Gortaur в сообщении #190968 писал(а):

А есть ли пример немононтонных сходящихся бытовых последовательностей?

Берём кран в ванной (для простоты - типа "смеситель"), и начинаем настраивать воду до комфортной температуры. Как мы это делаем? Потеплее, потом похолоднее, потом опять потеплее, потом опять похолоднее ... и так далее, пока не станет хорошо.

Это даже на тему признака Лейбница пример получился. Погрешность последним слагаемым оценивается.

[Gortaur]

Браво, мне нравится. Надеюсь, это многое объяснит
С другой стороны, сходимость все равно получается монотонная, т.е. $|x_{n+1}-x|<|x_n-x| \forall n$.

[AD]

Gortaur в сообщении #190979 писал(а):

сходимость все равно получается монотонная

Ну ладно, вот Вы в определенный момент от нетерпения разозлились - и рванули кран влево больше положенного. А потом, когда остыли - дошло, что снова сначала начинать придётся ...

[Gortaur]

Ну сами посудите, я же человек спокойный, зачем мне так поступать?

Кстати, нам на лекции матана рассказывали, что классический анализ - бесконечно малых, но мол есть и другие. Что имелось ввиду, не подскажите?