Привожу ещё одно доказательство несчётности отрезка (не касающееся обсуждения, которое мы ведём с AD).
Действительное число на единичном отрезке задаётся строго возрастающей функцией

, отображающей натуральный ряд в натуральный ряд по принципу:

, если в двоичном разложении числа

-ая единица стоит на

-ом месте. Двоично-рациональные пусть задаются записями, в которых, начиная с некоторого места до бесконечности идут они единицы. Предположим, что чисел - счётное количество. Тогда будем считать, что

-ое действительное число задаётся функцией

, в котором, по прежнему,

-ая единица стоит на

-ом месте. Строим функцию

, задающую число, не совпадающее с числами, перечисленными номерами

:

.
Добавлено спустя 22 минуты 28 секунд:
Уважаемый
AD. Ничуть не сомневаюсь в Вашем доказательстве леммы. Его можно было бы не приводить, так как лемма очевидна. По этому доказательству, и по Вашим обозначениям, в пересечении отрезков

будет точка

. Причём, фиксируя

, в рассуждениях вовсе не обязательно доводить последовательность

до бесконечности. Заранее выберем точку

так, чтобы она была рациональная. Мало того, пусть мы говорим только о рациональных точках, т.е. все обозначенные точки считаем рациональными (всякий раз, когда в Вашем доказательстве употребляется термин "точка" или "число", добавим к ним слово "рациональная" или "рациональное"). Тогда все рассуждения, приведённые Вами, полностью проходят. Я это пытаюсь до Вас донести. Иными словами, разбиваем - по Вашему же алгоритму - множество рациональных точек на отрезке. Ну и что? Это не влечёт несчётность такого множества.