2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 
Сообщение18.02.2009, 10:28 
Аватара пользователя
notabene в сообщении #187287 писал(а):
Вопрос, а если подробно проанализировать все приведенные в первом посте доказательства, то они точно не ссылаются на теорему Кантора? То есть не возникает ли логический круг?
Не возникает, поскольку в большинстве приведенных выше фактов обосновывается, что то или иное множество - счетно. Доказательство счетности множества не требует применения диагонали Кантора.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 10:48 
Давно не листал Александрова "Введение в общую теорию множеств и функций". К примеру теорема Бэра о категориях точно не использует в своем доказательстве теорему Кантора?

[color=blue][size=9]Добавлено спустя 12 минут 37 секунд:[/size][/color]

В предыдущем посте имеется ввиду просто теорема Бэра, а не теорема Бэра о категориях.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 13:40 
AD в сообщении #187260 писал(а):
Зато есть более общее, и требуемое сочетание - его частный случай.

    Обобщение. Несчетность прямоугольника.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 16:00 
notabene в сообщении #187287 писал(а):
Вопрос, а если подробно проанализировать все приведенные в первом посте доказательства, то они точно не ссылаются на теорему Кантора? То есть не возникает ли логический круг?
Я об этом заблаговременно подумал :) Не, вроде не возникает. Хотя очень часто используются сходные идеи, от которых уже рукой подать до требуемого, но тут же сюжет уходит в сторону.

Самым забавным мне кажется анализ пункта 2. То есть мало кто опускается до доказательства того, что отрезок имеет меру, равную длине :)

Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд:

Yarkin в сообщении #187354 писал(а):
Обобщение. Несчетность прямоугольника.
Он что-то хочет мне сказать ... :?

 
 
 
 
Сообщение18.02.2009, 22:08 
PAV писал(а):
gris в сообщении #186945 писал(а):
Если рассмотреть отрезок как сугубо геометрическое понятие, имеющее определённую длину, то его (отрезок) нельзя уничтожить процедурой последовательного вытыкания отдельных точек, длины не имеющих. Отсюда с очевидностью следует его несчётность.


Вообще-то это доказательство проходит в исходном списке под номером 2. Только для этого нужно иметь доказанной сигма-аддитивность меры.
А по-моему, под номером 1 :roll:

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:26 
AD в сообщении #187402 писал(а):
Он что-то хочет мне сказать ...

    Очень подробный ответ. Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:40 
Аватара пользователя
Yarkin в сообщении #187354 писал(а):
Обобщение. Несчетность прямоугольника

Yarkin в сообщении #188422 писал(а):
Очень подробный ответ. Спасибо.


Глаголы Yarkin пошлет на будущей неделе, отдельным списком.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:57 
shwedka в сообщении #188428 писал(а):
Глаголы Yarkin пошлет на будущей неделе, отдельным списком.

    Если сумею подобрать.

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 09:29 
Yarkin в сообщении #188422 писал(а):
Очень подробный ответ. Спасибо.
Какой вопрос, такой и ответ, Yarkin. Могли бы еще спросить "Ку?". Тут хоть вопросительный знак есть. Не за что.

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 13:26 
AD в сообщении #188491 писал(а):
Какой вопрос, такой и ответ, Yarkin. Могли бы еще спросить "Ку?".

    Вопрос остался, а ответ - "Ку".

 
 
 
 Re: Коллекция доказательств несчетности отрезка.
Сообщение22.02.2009, 14:57 
Аватара пользователя
AD писал(а):
1. Через теорему Бэра: Всякое счетное множество, очевидно, является множеством первой категории, а отрезок - второй.

2. Через теорию меры: Cчетные множества имеют меру нуль, а отрезок - меру единица.

3. Через некоторые теоремы единственности:
а) Если непрерывная функция $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ имеет производную, равную нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то $F$ - константа; тем не менее, существуют и непостоянные непрерывные функции.
б) Если ряд по системе Уолша (да и для тригонометрических, наверное, верно, но чего-то сходу ссылки не нашел :oops: ) сходится к нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то все его коэффициенты нулевые; тем не менее, существуют и ненулевые ряды Уолша.


Ну, могли бы уж нулевым пунктом классическое доказательство привести. Я его уже где-то тут на форуме излагал.

4. Существует биекция между $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ и $[0,1]$, задаваемая правилом $A \mapsto \sum_{i \in A} 2^{-(i+1)}$. А множество $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ несчётно по теореме Кантора.

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 16:31 
Профессор Снэйп
Какая же это биекция, когда хвосты из единиц переходят в то же, что и соответствующие хвосты из нулей?
Вот между непериодическими подмножествами $\mathbb{N}$ и иррациональными числами из $[0;1]$ биекция строится по такому правилу, а дополнения до этих частей счётны в обоих множествах.

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 17:35 
Аватара пользователя
Cave писал(а):
Профессор Снэйп
Какая же это биекция, когда хвосты из единиц переходят в то же, что и соответствующие хвосты из нулей?


Простите, не понял. Какие ещё "хвосты".

Заданное мною отображение действительно является биекцией, в этом я твёрдо уверен. Вы сомневаетесь?

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 17:41 
Всё, разобрались.

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 17:41 
Аватара пользователя
Ой, тьфу ты. Действительно ведь не биекция! Ведь у $\mathbb{N} \setminus \{ 0 \}$ и у $\{ 0 \}$ --- один и тот же образ! Оплошал, каюсь.

Впрочем, данное отображение --- сюрьекция. Для несчётности этого достаточно :)

А-а-а, недостаточно! Это инъекции достаточно. Вот же блин!!!

 
 
 [ Сообщений: 119 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group