Шарнирно закрепленный стержень. Периодическая сила.

[igornewman]

Здравствуйте! Прошу помощи в выводе дифференциального уравнения поперечных колебаний шарнирно закрепленного по краям стержня под действием периодической продольной силы

$$E \cos{\theta}$$

(

$$\frac{d\theta}{dt}=\nu (\tau)$$

- мгновенная частота медленно меняется со временем).



Очевидно, уравнение имеет следующий вид:

$$EI\frac{\partial^4 y}{\partial z^4}+\frac{\gamma A}{g} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+E_0 \cos{\theta} \frac{\partial^2 y}{\partial z^2}=0$$

,
где

$$A$$

- площадь поперечного сечения,

$$EI$$

- жесткость, $$\gamma&& - плотность материала, из которого изготовлен стержень,

$$g$$

- ускорение силы тяжести.

Интересует именно вывод этого уравнения. Единственное, что смог накопать - это уравнение вывел Бернулли. Буду признателен за любую помощь.

[Zai]

Ваше уравнение имеет вид
$ EI\frac { \partial^4 u} {\partial {x^4}}+\rho A \frac { \partial^2 u} {\partial {t^2}} +E_0 \cos \theta \frac { \partial^2 u} {\partial^2 {x}}= 0
$\rho= \frac {\gamma} g

Граничные условия
$u(0,t)= \frac { \partial^2 u(0,t)} {\partial^2 {x}}=0
$u(l,t)= \frac { \partial^2 u(l,t)} {\partial^2 {x}}=0

Уравнение изгиба балки
$ EI\frac { \partial^4 u} {\partial {x^4}}+\rho A \frac { \partial^2 u} {\partial {t^2}}= 0

Его вывод можно посмотреть в монографии А. Ляв, Математическая теория упругости, параграф 280, с. 448

Вывод уравнения поперечных колебаний натянутой струны общеизвестен
$\rho A \frac { \partial^2 u} {\partial {t^2}}=T \frac { \partial^2 u} {\partial^2 {x}}
$T=-E_0 \cos \theta

[igornewman]

Спасибо огромное. Посмотрю книгу. Надеюсь, поможет. =)))))