лемма Рисса о почти перпендикуляре

[g-a-m-m-a]

Народ!!
В чем смысл сей леммы, а то моя не понимать

[Утундрий]

Для меня в свое время смысл этой леммы свелся к тому, что ее нужно было воспроизвести на зачете по функану)

[Лиля]

а вы бы ее сдесь привели (лему) -что б мы знали о чем идет реч

[Мат]

Дорогая Лиля
Слово "речь" - женского рода. Пишется с мягким знаком.

[Утундрий]

$\[X\]$ - н.п. $L$ - его п.п. Тогда

\[ \forall \varepsilon > 0\exists y_\varepsilon \in X:1)\left\| {y_\varepsilon } \right\| = 1,2)\mathop {\inf }\limits_{u \in L} \left\| {y_\varepsilon - u} \right\| > 1 - \varepsilon \]

кажись энто...

[id]

Например в том, что она используется в доказательстве теоремы о локальной компактности, теоремы о спектре компактного оператора и не только.

[мат-ламер]

Очень приблизительно можно понимать и так, что в произвольном банаховом пространстве некоторые факты, имеющие место быть в гильбертовом пространстве, выполняются не точно, а лишь с точностью до бесконечной малой. Причём некоторые понятия (типа перпендикулярности) надо ещё постараться правильно определить.

[g-a-m-m-a]

Утундрий писал(а):

Для меня в свое время смысл этой леммы свелся к тому, что ее нужно было воспроизвести на зачете по функану)

Формализмом страдаете?

[Утундрий]

g-a-m-m-a писал(а):

Утундрий писал(а):

Для меня в свое время смысл этой леммы свелся к тому, что ее нужно было воспроизвести на зачете по функану)

Формализмом страдаете?

Формалин не пью, тройной одеколон для здоровья полезнее.

[Профессор Снэйп]

Насколько я понимаю, смысл прост. В произвольном банаховом пространстве для произвольного $\varepsilon$ к произвольному подпространсву можно провести вектор, который будет "перпендикулярен" к нему с точностью до $\varepsilon$. То есть собственно перпендикуляра может и не существовать, но сколь угодно близкое приближение к нему всегда существует.

Это как если последовательность действительных чисел стремится к какому-то числу, то в последовательности встречаются сколь угодно близкие к нему члены, несмотря на то, что ни один из членов последовательности может быть ему не равен.

[id]

И даже не обязательно банаховом, кажется.

И подпространство ( в известной мне формулировке ) должно быть обязательно собственным и замкнутым.

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

И подпространство ( в известной мне формулировке ) должно быть обязательно собственным и замкнутым.

Собственность понятна, а то как ко всему пространству внутри него самого перпендикуляр строить? Замкнутость тоже вроде как понятно: если замыкание подпространства равно всему пространству, то о каком перпендикуляре может идти речь? Кстати, тогда подпространство не обязательно должно быть замкнутом, достаточно лишь, чтобы его замыкание было собственным подпространством.

[id]

Цитата:

Кстати, тогда подпространство не обязательно должно быть замкнутом, достаточно лишь, чтобы его замыкание было собственным подпространством.

Любопытно, похоже, что в самом стандартном доказательстве достаточно только заменить "берем $y\in E - E_0$" на "берем $y\in E - [E_0]$" и получится все верно. Не замечал...

[g-a-m-m-a]

Утундрий писал(а):

$\[X\]$ - н.п. $L$ - его п.п. Тогда

\[ \forall \varepsilon > 0\exists y_\varepsilon \in X:1)\left\| {y_\varepsilon } \right\| = 1,2)\mathop {\inf }\limits_{u \in L} \left\| {y_\varepsilon - u} \right\| > 1 - \varepsilon \]

кажись энто...

А вот почему там берут $1 - \varepsilon$, а не $1 + \varepsilon$ ?*WALL*

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Цитата:

Кстати, тогда подпространство не обязательно должно быть замкнутом, достаточно лишь, чтобы его замыкание было собственным подпространством.

Любопытно, похоже, что в самом стандартном доказательстве достаточно только заменить "берем $y\in E - E_0$" на "берем $y\in E - [E_0]$" и получится все верно. Не замечал...

А я доказательство не помню. Просто заметил, что если взять замыкание подпространства, то получится замкнутое подпространство, к которому, если оно не собственное, можно начать строить перпендикуляры

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

g-a-m-m-a писал(а):

А вот почему там берут $1 - \varepsilon$, а не $1 + \varepsilon$ ?*WALL*

Патамушта оно всегда $\leqslant 1$.