2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Inequality
Сообщение25.02.2009, 22:24 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
If $a,b,c$ are real numbers for which: $a + b + c = 0$
Find the minimum and maximum of the expression:
$D = \frac{ab}{(c^{3} - a^{3})(c^{3} - b^{3})} +\frac{bc}{(a^{3} - b^{3})(a^{3} - c^{3})} + \frac{ca}{(b^{3} - c^{3})(b^{3} - a^{3})}$
when it is defined.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 23:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
ins- писал(а):
If $a,b,c$ are real numbers for which: $a + b + c = 0$
Find the minimum and maximum of the expression:
$D = \frac{ab}{(c^{3} - a^{3})(c^{3} - b^{3})} +\frac{bc}{(a^{3} - b^{3})(a^{3} - c^{3})} + \frac{ca}{(b^{3} - c^{3})(b^{3} - a^{3})}$
when it is defined.

Ни максимум, ни минимум не существуют, поскольку область значений Вашего $$D$$ это $$(0,+\infty).$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2009, 01:11 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
It is very strange - such a problem appeared in Spanish MO (district Valiadolit) a long time ago. Thank you! If you have some time - please write your arguments. I have some ideas.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2009, 08:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
arqady писал(а):
Ни максимум, ни минимум не существуют, поскольку область значений Вашего $$D$$ это $$(0,+\infty).$$

Всё верно. Достаточно рассмотреть другую тройку $a'=at,b'=bt,c'=ct$ (сумма так же равна нулю), а $D'=\frac{D}{t^4}$ и менять t от 0 до бесконечности. Положительность так же легко доказывается при необходимости изменим знак тройки за счёт t=-1 и через две положительные выразим отрицательную и получим положительное выражение для D.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2009, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Данное выражение равно (с учетом $a+b+c=0$)
$$
\frac{1}{(b^2+bc+c^2)^2},
$$
что подтверждает сказанное arqadyем и Рустом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: EXE


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group