Inequality

[ins-]

If $a,b,c$ are real numbers for which: $a + b + c = 0$
Find the minimum and maximum of the expression:
$D = \frac{ab}{(c^{3} - a^{3})(c^{3} - b^{3})} +\frac{bc}{(a^{3} - b^{3})(a^{3} - c^{3})} + \frac{ca}{(b^{3} - c^{3})(b^{3} - a^{3})}$
when it is defined.

[arqady]

ins- писал(а):

If $a,b,c$ are real numbers for which: $a + b + c = 0$
Find the minimum and maximum of the expression:
$D = \frac{ab}{(c^{3} - a^{3})(c^{3} - b^{3})} +\frac{bc}{(a^{3} - b^{3})(a^{3} - c^{3})} + \frac{ca}{(b^{3} - c^{3})(b^{3} - a^{3})}$
when it is defined.

Ни максимум, ни минимум не существуют, поскольку область значений Вашего

$$D$$

это

$$(0,+\infty).$$

[ins-]

It is very strange - such a problem appeared in Spanish MO (district Valiadolit) a long time ago. Thank you! If you have some time - please write your arguments. I have some ideas.

[Руст]

arqady писал(а):

Ни максимум, ни минимум не существуют, поскольку область значений Вашего

$$D$$

это

$$(0,+\infty).$$

Всё верно. Достаточно рассмотреть другую тройку $a'=at,b'=bt,c'=ct$ (сумма так же равна нулю), а $D'=\frac{D}{t^4}$ и менять t от 0 до бесконечности. Положительность так же легко доказывается при необходимости изменим знак тройки за счёт t=-1 и через две положительные выразим отрицательную и получим положительное выражение для D.

[Хорхе]

Данное выражение равно (с учетом $a+b+c=0$)

$$ \frac{1}{(b^2+bc+c^2)^2}, $$

что подтверждает сказанное arqadyем и Рустом.