Мощность множеств. Не могу разобраться (счетные, континуум)

[Апофеоз Здравого Смысла]

Пусть $N$ - счётное множество.
Рассмотрим следующее объединение: $\{N\}\cup\{N\times N\}\cup\{N\times N \times N\}\cup\{N^4\}\cup...$
Оно счётно, так как является объединением счетного числа счётных множеств вида $N^k$.

Мне кажется, что это множество равномощно $N^N$ - множеству всех бесконечных последовательностей натуральных чисел. Которое, в свою очередь, расномощно континууму.
Значит, всё-таки, объединение счетного числа множеств вида $N^k$ не равномощно $N^N$. Не понимаю почему.

[gris]

А мне кажется, что Вы получили множество всех конечных последовательностей, которое счётно.

[worm2]

Если бы $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k$ было равномощно $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, то каждой бесконечной последовательности натуральных чисел можно было бы поставить в соответствие конечную.

[Апофеоз Здравого Смысла]

gris писал(а):

А мне кажется, что Вы получили множество всех конечных последовательностей, которое счётно.

Ну я это и предполагал, но всё таки решил написать вопрос, чтобы убедиться точно.
А тогда получается что множество $\{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...$ это не тоже самое, что множество натуральных чисел и не равномощно $N$. Или нет?

[worm2]

Из того, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k=\mathbb{N}$ не следует, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k=\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

[Лиля]

что такое мощность?

[Апофеоз Здравого Смысла]

worm2 писал(а):

Из того, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k=\mathbb{N}$ не следует, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k=\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

Правильно ли рассуждать так?
Каждый элемент множества $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k$ принадлежит множеству $N$, и наоборот.
А для $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ни один его элемент не принадлежит $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k$

[gris]

я согласен со следующим оратором

[worm2]

Можно так рассуждать. Только следует помнить, что наше построение является не строгим рассуждением, а лишь попыткой понять, почему дело обстоит так, а не иначе, на интуитивном уровне. Для строгого доказательства неравномощности нужно использовать диагональный процесс.

[Лиля]

Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189475 писал(а):

А тогда получается что множество $\{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...$ это не тоже самое, что множество натуральных чисел

нет это и есть множество натуральных чисел $N \subset \{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...\subset N$

Добавлено спустя 35 минут 25 секунд:

поняла что такое мощность:)

Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189471 писал(а):

$N^N$ - множеству всех бесконечных последовательностей натуральных чисел. Которое, в свою очередь, расномощно континууму.

$N^N$ -не может быть равномощной континууму и таковой не являеться

[gris]

Лиля, Вам надо отметиться в форуме "Дискуссионные темы". Там можно опровергнуть континуум-гипотезу, поутверждать, что множество действительных чисел счётно и даже доказать ВТФ с помощью паяльника.

[Xaositect]

Лиля в сообщении #189484 писал(а):

$N^N$ -не может быть равномощной континууму Rolling Eyes и таковой не являеться

Почему же не является, вполне себе континуум.

[Лиля]

зачем опровергать -вы ж сами ее ток что опровергли ВАШУ гипотизу...
ведь ясно что как написанно в 1ом посте

Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189471 писал(а):

Пусть $N$ - счётное множество.
Рассмотрим следующее объединение: $\{N\}\cup\{N\times N\}\cup\{N\times N \times N\}\cup\{N^4\}\cup...$
Оно счётно, так как является объединением счетного числа счётных множеств

-являеться счетным а континиум -являеться как известно не счетным ну и что там ВАМ еще опровергать? занч континуум и $N^N$ не могут быть равномощными...

[Henrylee]

Лиля писал(а):

$N^N$ -не может быть равномощной континууму и таковой не являеться

Любой десятичной дроби из (0,1) соответствует бесконечная последовательность нат. чисел.
Лиля, Вы прикалываетесь?

[Xaositect]

Лиля в сообщении #189499 писал(а):

занч континуум и $N^N$ не могут быть равномощными...

$\mathbb{N}^\mathbb{N} \neq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{N}^i$