Вопрос по логике

[lofar]

Феликс Шмидель писал(а):

...есть теория вещественных чисел 1-го порядка.

Что это за теория? Пожалуйста, объясните подробнее. Какова сигнатура? Я привык считать, что вещественные числа это модель известного набора аксиом (см. любой учебник по анализу) в сигнатуре $(0,1,+,\cdot,\leqslant)$.

Феликс Шмидель писал(а):

Несчётность множества вещественных чисел означает несуществование функции взаимно-однозначного соответствия между этим множеством и множеством натуральных чисел. Внутри счётной модели такой функции нет, так что эта модель продолжает оставаться "несчётной" по отношению к самой себе.

Я не специалист в области математической логики, поэтому могу чего-то не понимать. Всегда полагал, что счетность/несчетность это свойство модели, точнее, свойство множества, являющегося носитялем модели. Вы имеете ввиду некое зависящее от модели определение мощности?

[Феликс Шмидель]

lofar писал(а):

Я привык считать, что вещественные числа это модель известного набора аксиом (см. любой учебник по анализу) в сигнатуре $(0,1,+,\cdot,\leqslant)$.

Именно, так. Но к этому следует добавить сигнатуру и аксиомы теории множеств ZF.

Цитата:

Всегда полагал, что счетность/несчетность это свойство модели, точнее, свойство множества, являющегося носитялем модели. Вы имеете ввиду некое зависящее от модели определение мощности?

Поскольку аксиома полноты формулируется на языке теории множеств, то для определения модели вещественных чисел, нужно определить также сопутствующую модель теории множеств. Счётность/несчётность это действительно свойство модели. Если модель вещественных чисел - счётная, то существует функция нумерации, но эта функция не принадлежит сопутствующей модели теории множеств. Это можно интерпретировать как "несчётность" модели вещественных чисел по отношению к сопутствующей модели теории множеств.

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

Обычно в анализе не используется ни счётная, ни несчётная модели вещественных чисел. Просто формулируются аксиомы, и из этих аксиом выводятся следствия. Когда говорят, что множество вещественных чисел несчётно, имеют в виду не модели, а то, что эта теорема следует из аксиом.
Если же говорить о моделях, то эта теорема означает, что все модели вещественных чисел "несчётны" по отношению к самим
себе. Как только речь заходит о моделях, сразу появляются некоторые сложности, которых можно избежать, если не говорить о моделях.

Это не совсем так. В классическом анализе, неявно используется несчетная стандартная модель, как наиболее близкая нашей интуиции. Но например Л.Эйлер использовал нестандартную модель, которая к тому же была еще парапротиворечивой.
Я недавно читал статью про дельфинов, так там английские ученые пишуть, что дельфины это тоже нечто типа людей и они кликают друг друга по имени .

[lofar]

Похоже (поправьте если не прав), все сводится к, так любимому на этом форуме, вопросу о разграничении теории и метатеории. Я исходил из теории алгебраических систем, в том виде, в котором она описана в книге "Математическая логика" Ю. А. Ершова и Е. А. Палютина. Там, насколько я понял, теория множеств рассматривается в качестве метатеории по отношению к теории моделей алгебраических систем. При этом, сигнатура и аксиомы ZF к сигнатуре и аксиомам алгебраической системы не добавляются.

[bot]

lofar писал(а):

При этом, сигнатура и аксиомы ZF к сигнатуре и аксиомам алгебраической системы не добавляются.

А их и нельзя добавить - в семантическом рассмотрении приходится иметь дело с классами, то есть не с множествами. В синтаксическом же контексте в случае конечной или счётной сигнатуры никаких проблем не возникает, так как сам язык оказывается счётным.

[Феликс Шмидель]

lofar писал(а):

теория множеств рассматривается в качестве метатеории по отношению к теории моделей алгебраических систем. При этом, сигнатура и аксиомы ZF к сигнатуре и аксиомам алгебраической системы не добавляются.

Теория множеств ZF имеет счётную модель (при условии непротиворечивости ZF). Таким образом, алгебраическая система вполне может включать сигнатуру и аксиомы ZF. Конечно, если аксиомы алгебраической системы не имеют отношения к теории множеств, то добавлять сигнатуру и аксиомы ZF не следует. Но аксиома полноты формулируется на языке теории множеств, поэтому в этом случае без добавления ZF не обойтись.

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

lofar писал(а):

теория множеств рассматривается в качестве метатеории по отношению к теории моделей алгебраических систем. При этом, сигнатура и аксиомы ZF к сигнатуре и аксиомам алгебраической системы не добавляются.

Теория множеств ZF имеет счётную модель (при условии непротиворечивости ZF). Таким образом, алгебраическая система вполне может включать сигнатуру и аксиомы ZF. Конечно, если аксиомы алгебраической системы не имеют отношения к теории множеств, то добавлять сигнатуру и аксиомы ZF не следует. Но аксиома полноты формулируется на языке теории множеств, поэтому в этом случае без добавления ZF не обойтись.

Теория моделей как и вообще вся современная общепринятая математика строится внутри ZF. Все понятия определены средствами ZF или ZFС. Упоминание каких то там метатеорий здесь вообще неуместно.

[Феликс Шмидель]

Здесь я с Вами согласен. Но Ваше утверждение, что Эйлер использовал нестандартную паранепротиворечивую модель нуждается в уточнении. Насколько я понимаю, Вы имеете в виду модель с бесконечно малыми величинами.

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

Здесь я с Вами согласен. Но Ваше утверждение, что Эйлер использовал нестандартную паранепротиворечивую модель нуждается в уточнении. Насколько я понимаю, Вы имеете в виду модель с бесконечно малыми величинами.

Да именно эту модель. Интересно, что эта модель не просто неархимедова, а в современной
терминологии это т.н. противоречивое неархимедово расширение поля R. Такие поля стали
изучать только в конце прошлого века, да и то только в некотором сравнительно элементарном аспекте. Я думаю, что Эйлер не был обычным человеком, скорее всего это был сам дьявол, который решил подшутить таким жестоким способом над бедными несчастными математиками, которые с античных времен (по заявлению Фоменко, просто выдуманных как
обычно историками ) ужасно боялись противоречий. Интересно, что когда прах Эйлера собирались перезахоранить, то костей так и не нашли. Робинсон просто сдралоскопил кусочек
Эйлеровского анализа и выдал за свое, однако после Робинсоновских исправлений Эйлеровский анализ не стал намного лучше.

[bot]

Имхо, все правы и все не правы. В рамках теории моделей множество - это простейшая модель. Нет ни предикатов ни операций. Что такое множество в рамках этой теории не обсуждается - пусть оно богом данное. Иначе говоря, модельеров такие вопросы совсем не колышат. Что есть метатеория? Это своего рода неподъёмный камень для теории. Но ведь теория моделей сама способна создавать камни, которые поднять не может. Так, формула в языке второй ступени недоказуема в языке первой ступени. С другой стороны, во многих семантических случаях все понимают, что нет никаких проблем (кроме геморройных) перейти на язык синтаксиса, но спрашивается на какой - ZF с С или ZF без С? Разумеется, если результат получен без С, то он качественнее. Из контекста обычно ясно, принимается С или нет. Например, если ультрафильтры в доказательстве есть, то какие могут быть вопросы?
Впрочем, вообще все утверждения в математике носят условный характер - не предваряем же мы каждую теорему полным списком используемых аксиом.

[Dan B-Yallay]

А возможно ли построить аксиоматику теории вещественных чисел таким образом, чтобы из нее не выводилась несчетность?

Вопрос даже скорее должен звучать так: Пытался ли кто-то построить или доказано что это невозможно?

[Феликс Шмидель]

Очень хороший вопрос. Нестандартная модель с бесконечно малыми величинами - тоже несчётная. Но я бы не сказал, что невозможно построить аксиоматику, чтобы не выводилась несчётность. Например, можно сформулировать аксиому полноты, используя предикаты вместо множеств, аналогично аксиоме индукции в системе Пеано. При этом аксиома останется 1-го порядка. Но я не знаю, как будет выглядеть такой анализ, и насколько удобно им будет пользоваться.
Или, например, можно ограничиться только вычислимыми вещественными числами, а их счётное множество.

[Юстас]

Определение действительного числа:действительное число - это элемент множества действительных чисел. Определение множества действительных чисел: множество действительных чисел - это множество подмножеств натуральных чисел. О какой счетности может идти речь?

[Котофеич]

Юстас писал(а):

Определение действительного числа:действительное число - это элемент множества действительных чисел. Определение множества действительных чисел: множество действительных чисел - это множество подмножеств натуральных чисел. О какой счетности может идти речь?

Существуют токмо вычислимые числа. Все остальное это плод больного воображения
философовв

[Феликс Шмидель]

Вместо множества действительных чисел можно рассматривать множество вычислимых действительных чисел, которые образуют счётное подмножество множества действительных чисел.