геодезические

[hyper]

люди добрые, объясните, как найти уравнение геодезической линии
если задана метрика

$$ds^2=d\rho^2+sh^2\rho d\varphi^2$$

по этим формулам надо?
и как это делается?

$$\frac {du^\alpha} {ds} + G^\alpha_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = 0 $$

где

$$G^\alpha_{\mu \nu} = \frac 1 2 g^{\alpha \beta} (\frac { \partial g_{\mu \beta}} {\partial x^\nu} + \frac { \partial g_{\nu \beta}} {\partial x^\mu} + \frac { \partial g_{\mu \nu}} {\partial x^\beta})$$

- символы Кристоффеля

[Руст]

Лучше из вариационного принципа, т.е. из уравнений Эйлера.

[hyper]

не могли бы показать, как это делается?

[Brukvalub]

Нужно инимизировать интеграл, который выражает длину кривой на римановом многообразии (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5 ), то есть решить задачу классического вариац. исчисления.

[vvvv]

Посмотрите здесь
http://dxdy.ru/topic19762.html