функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[Gafield]

Есть еще теоремы вложения: $W_2^1[0,1]\subset C^\alpha[0,1]$, $0<\alpha<1/2$. Так что все не очень гладкие в смысле пространств Гельдера функции принадлежать $W[0,1]$ не будут.

[AD]

ewert в сообщении #187911 писал(а):

Не нужно искать -- и так ясно, что для оригинальной (равномерной) нормы это тождество не выполняется. Вопрос в другом: можно ли придумать на $C[0;1]$ другую норму, которая была бы гильбертовой? т.е. удовлетворяла бы пресловутому тождеству и давала бы полноту?

$\|x\|'=\|\varphi x\|$, где $\varphi:C[0,1]\to H^1[0,1]$ - линейный изоморфизм

[ewert]

я лично ничего не понял. Что такое штрих? и с какой стати штрих от скаляра есть скаляр?!!

[nckg]

я так понял что $\|\cdot\|'$ --- это та самая гильбертова норма, котору мы ищем. Но
какой именно изоморфизм $\varphi$ Вы предлагаете, AD?
И существует ли такой изоморфизм? Чему равно $\varphi(x\mapsto \sqrt{x})$?

Добавлено спустя 15 минут 40 секунд:

Пусть $\|\cdot\|'$ --- это та самая гильбертова норма, котору мы ищем. Тогда из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ (иначе откуда взятся полноте?). Следует ли отсюда, что норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Если да, то любой линейный непрерывный функционал для $C[0,1]$ с нормой $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ будет также линейным непрерывным функционалом для $C[0,1]$ с нормой $\|\cdot\|'$.
А раз норма $\|\cdot\|'$ - гильбертова, то этот функционал можно считать элементом $C[0,1]$, то есть опять противоречие тому, что $(C[0,1])^*=\mathbf{rca}[0,1]$.

[ewert]

nckg писал(а):

Пусть $\|\cdot\|'$ --- это та самая гильбертова норма, котору мы ищем. Тогда из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ (иначе откуда взятся полноте?).

ну а какое отношение полнота по одной норме имеет к полноте по другой?

нет, какое-то отношение имеет, я правда, не помню, какое. Но: при чём тут гильбертовость?...

[nckg]

ewert писал(а):

ну а какое отношение полнота по одной норме имеет к полноте по другой?

нам нужно чтобы фундаментальная последовательность по норме $\|\cdot\|'$ сходилась именно к функции из $C[0,1]$. Как этого добиться? Если она также сходится по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$, то в силу полноты предел тоже будет непрерывной функцией.

А гильбертовость даёт нам то, что сопряжённое пространство - это само $C[0,1]$

[AD]

nckg в сообщении #188096 писал(а):

И существует ли такой изоморфизм? Чему равно $\varphi(x\mapsto \sqrt{x})$?

Ну пространства явно имеют одинаковую алгебраическую размерность (континуум), и потому изоморфны как линейные пространства. Вот этот изоморфизм я и беру. Куда он будет вести на хоть какой-то функции, кроме нуля - ответить затрудняюсь.

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

nckg в сообщении #188121 писал(а):

Как этого добиться? Если она также сходится по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$, то в силу полноты предел тоже будет непрерывной функцией.

Но это не необходимо, так что вашего рассуждения я не понимаю.

[nckg]

А бесконечномерные линейные пространства разве изоморфны? Это где можно почитать?

Цитата:

Но это не необходимо, так что вашего рассуждения я не понимаю.

Как раз в этом и фишка - что это не необходимо:) Это - гипотеза, если угодно:
их у меня аж две:
1) Из сходимости по гильбертовой норме $\|\cdot\|'$ должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$
2) (более сильное предположение) Норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Верны ли они? Не знаю. Можно вопрос ещё так поставить - может ли последовательность непрерывных функций сходится по какой-то норме к непрерывной функции и при этом не быть фундаментальной в норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ ?

Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд:

и не очень понятно, откуда следует что алгебраичаская размерность
у наших пространств одинаковая. Распишите плиз поподробнее, интересно.

[AD]

nckg в сообщении #188169 писал(а):

А бесконечномерные линейные пространства разве изоморфны? Это где можно почитать?

Пространства одинаковой размерности изоморфны. Это вроде бы даже очевидно. Ну то есть во всех пространствах есть базис, все базисы любого пространства равномощны (то есть имеется понятие размерности), и пространства одинаковой размерности изоморфны, а неодинаковой - нет. То есть полная классификация. И всё это жутко неконструктивно. Думаю, это много где есть. В Куроше вроде было ("Лекции по общей алгебре").

nckg в сообщении #188169 писал(а):

и не очень понятно, откуда следует что алгебраичаская размерность
у наших пространств одинаковая

Ну ясно, что не больше континуума (потому что там всего континуум функций), а континуум линейно независимых функций сочинить легко.

[ewert]

AD в сообщении #188202 писал(а):

Пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пространства любой конечной одинаковой размерности изоморфны. И это действительно тривиально, ибо они все изоморфны $\mathbb C^n$ (где $\mathbb C$ можно заменить на любое другое поле). Но тут-то ведь речь о бесконечномерных пространствах.

[AGu]

ewert писал(а):

AD в сообщении #188202 писал(а):

Пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пространства любой конечной одинаковой размерности изоморфны.
[...]
Но тут-то ведь речь о бесконечномерных пространствах.

Напрасно сомневаетесь, есть такая теорема:
Векторные пространства $X$ и $Y$ над одним и тем же полем
изоморфны тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ имеют равные размерности
[хоть конечные, хоть бесконечные].
(См. кучу учебников по линейной алгебре или функану.)

[AD]

ewert писал(а):

AD в сообщении #188202 писал(а):

Пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пространства любой конечной одинаковой размерности изоморфны. И это действительно тривиально, ибо они все изоморфны $\mathbb C^n$ (где $\mathbb C$ можно заменить на любое другое поле). Но тут-то ведь речь о бесконечномерных пространствах.

И тут не менее тривиально: все они изоморфны $\mathbb{C}^{\mathfrak{n}}$ (здесь имеется ввиду пространство функций на множестве мощности $\mathfrak{n}$, равных нулю всюду, кроме конечного числа точек).

[nckg]

Хорошо, в том, что мощности $C[0,1]$ и $H^1(0,1)$ равны, я почти не сомневаюсь.
Далее, в каждом из этих пространств есть базис Гамеля (как в любом линейном пространстве), мощности этих базисов равны (в этом я сомневаюсь чуть больше).
Делаем взаимно однозначное соответствие $f$ элементов базисов, а остальные элементы раскладываем в линейные комбинации, после чего доопределяем отображение $f$ на них так:
$f(\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n)=\alpha_1 f(x_1) + ... + \alpha_n f(x_n)$.
Определённое так отображение будет взаимно однозначным за счёт взаино однозначного соответствия базисов. И кроме того оно будет линейным (в обе стороны), т.е. вроде как действительно изоморфизм...

То есть получается, что мы ввели гильбертову норму для $C[0,1]$ ?

[ewert]

Зачем мучиться, просто введите интеграл от произведения -- вот Вам и скалярное произведение. Только пространство выйдет не гильбертовым, а предгильбертовым...

Короче, линейный изоморфизм и уж тем более базисы Гамеля к делу не относятся.

[nckg]

про базис Гамеля - это я попытался построить линейный изоморфизм, который предложил AD.
Напомню: $\varphi\colon C[0,1]\to H^1(0,1)$. Введём теперь скалярное произведение так:
для $u,v\in C[0,1]$ $(u,v)=(\varphi(u),\varphi(v))_{H^1(0,1)}$ ну и норму $\|u\|'=\|\varphi(u)\|_{H^1(0,1)}$. Поскольку $H^1(0,1)$ полно, то и наше пространство $C'=${$C[0,1]$ с нормой $\|\cdot\|'$} также будет полным, т.е. гильбертовым.

Добавлено спустя 3 минуты 8 секунд:

линейность изоморфизма $\varphi$ важна чтобы $\|\cdot\|'$ действительно была нормой.