Подобрать сумму

[Falex]

Ну хорошо.А как теперь узнать,что будет при суммах:
$S_1,S_2,\ldots,S_n$

[nworm]

Рассмотрев коэффициенты при $\lambda _s^i$, получаем

$$\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j b_i z^i \lambda _s^{i + j}= \sum_{i=0}^{2n}\sum_{j+k=i,\atop j,k\in \{0,\ldots ,n\}}\lambda _s^ia_jb_kz^k.$$

[Falex]

Так это мы только рассмотрели для конкретного \lambda_s,а их n1 штук!!!

[nworm]

А что Вам мешает $n1$ полученных сумм сложить?

[Falex]

А если исходный многочлен и функция разной степени,т.е.
P_n2,f_n3(z),то что поменяется?

[nworm]

То есть $P_{n^2}$, $f_{n^3}$?
Можете, например, считать, что $P_{n'}=P_{n^2}$, $f_{n'}=f_{n^3}$ (в полиноме $P_{n'}$ некоторые коэффициенты $a_i$ нулевые) и формула останется той же.

[Falex]

Вот так вычисляется остаток:

$$ r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k \cdot z)} $$

где

$$ f(z) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {b_j } \cdot z^j ,P(\lambda _k ) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {a_j } \cdot \lambda _k $$

Правильно ли я его нашел?

$$ r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k \cdot z)} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {(z^j \cdot b_j \cdot [1 - \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k \cdot S_{k + j} } ])} $$

[незваный гость]

Falex писал(а):

А разве так можно делать?
Зачем же тогда нужна формула Коши для перемножения рядов?

можно -- а с рядами номер не проходит по простой причине -- их бесконечности. Сторого говоря, ряд -- это не сумма, а суть предел последовательности частичных сумм. Из сходимости одной последовательности никак не следует сходимость другой, а тем более к чему она сходится.

[Falex]

Понял.
А как например по формуле nworm'a найти слагаемое при S_3 или S_4.
Просто проверить хочется.

[nworm]

При $n=5$ получается следующее.
Слагаемое при $S_3$:

$$a_0b_3z^3+a_1b_2z^2+a_2b_1z+a_3b_0$$

Слагаемое при $S_4$:

$$a_0b_4z^4+a_1b_3z^3+a_2b_2z^2+a_3b_1z+a_4b_0$$

При $n=2$ получается следующее.
Слагаемое при $S_3$:

$$a_1b_2z^2+a_2b_1z$$

Слагаемое при $S_4$:

$$a_2b_2z^2$$

Но Вы можете использовать и то, что написал photon.

Там имеется ввиду сумма по всем $j$, $k$ таким, что...

[Falex]

А Вы пользовались своей формулой в 2-ом посте.
Ну ведь должна быть какая-то чтоли зависимость от n (степени многочлена и функции) и слагаемых при
S_m=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^m
Какое-то сходство прослеживается при увеличении n

$$\sum\limits_{k=1}^N {P_2 \cdot f_3 (\lambda _k \cdot z)}=N \cdot a_0 \cdot c_0 + S_1 \cdot (a_0 \cdot c_1 + a_1 \cdot c_0 ) + S_2 \cdot (a_0 \cdot c_2 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot c_0 ) + S_3 \cdot (a_1 \cdot c_2 + a_2 \cdot c_1 ) + S_4 \cdot a_2 \cdot c_2$$ $$\sum\limits_{k=1}^N {P_3 \cdot f_3 (\lambda _k \cdot z)}=N \cdot a_0 \cdot c_0 + S_1 \cdot (a_0 \cdot c_1 + a_1 \cdot c_0 ) + S_2 \cdot (a_0 \cdot c_2 + a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot c_0 ) + S_3 \cdot (a_1 \cdot c_2 + a_2 \cdot c_1 ) +$$$$+ S_4 \cdot (a_2 \cdot c_2 + a_3 \cdot c_1 + a_1 \cdot c_3 ) + S_5 \cdot (a_2 \cdot c_3 + a_3 \cdot c_2 ) + S_6 \cdot a_3 \cdot c_3,$$ где $$c_j = b_j\cdot z^j = \frac{f^{ (j) }(0)}{j!}\cdot z^j$$

т.е. S_1\cdot \sum\limits_{k=1}^n (...)+S_2\cdot \sum\limits_{k=1}^n(...)+...

[Falex]

А как мне оценить хвост этого ряда:

$$\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {P(\lambda _k )} \cdot f(\lambda _k \cdot z)$$

[Falex]

Мне кажется,что хвост ряда будет прижат из некой величины,которая зависит от
a_i,b_j,n

[Falex]

Как мне для начала представить сумму

$$ \sum\limits_{k = 1}^R {(\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j \cdot c_i \cdot } \lambda _k^{i + j} )} $$

в более простом виде (R \ne n)!

[nworm]

Поменяйте местами знаки сумм:

$$ \sum\limits_{k = 1}^R {(\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j \cdot c_i \cdot } \lambda _k^{i + j} )}= \sum\limits_{i,j = 0}^n {( {a_j \cdot c_i \cdot } \sum\limits_{k = 1}^R {\lambda _k^{i + j}} )} $$