2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение07.05.2006, 19:58 


26/09/05
530
Ну хорошо.А как теперь узнать,что будет при суммах:
$S_1,S_2,\ldots,S_n$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 21:48 


17/09/05
121
Рассмотрев коэффициенты при $\lambda _s^i$, получаем
$$\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j b_i z^i \lambda _s^{i + j}=
\sum_{i=0}^{2n}\sum_{j+k=i,\atop j,k\in \{0,\ldots ,n\}}\lambda _s^ia_jb_kz^k.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 09:55 


26/09/05
530
Так это мы только рассмотрели для конкретного \lambda_s,а их n1 штук!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 14:26 


17/09/05
121
А что Вам мешает $n1$ полученных сумм сложить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 15:34 


26/09/05
530
А если исходный многочлен и функция разной степени,т.е.
P_n2,f_n3(z),то что поменяется?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 19:01 


17/09/05
121
То есть $P_{n^2}$, $f_{n^3}$?
Можете, например, считать, что $P_{n'}=P_{n^2}$, $f_{n'}=f_{n^3}$ (в полиноме $P_{n'}$ некоторые коэффициенты $a_i$ нулевые) и формула останется той же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 21:12 


26/09/05
530
Вот так вычисляется остаток:
$$
r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k  \cdot z)}
$$
где
$$
f(z) = \sum\limits_{j = 0}^\infty  {b_j }  \cdot z^j ,P(\lambda _k ) = \sum\limits_{j = 0}^\infty  {a_j }  \cdot \lambda _k
$$
Правильно ли я его нашел?
$$
r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k  \cdot z)}  = \sum\limits_{j = 0}^\infty  {(z^j  \cdot b_j  \cdot [1 - \sum\limits_{k = 0}^\infty  {a_k  \cdot S_{k + j} } ])}
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2006, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Falex писал(а):
А разве так можно делать?
Зачем же тогда нужна формула Коши для перемножения рядов?

можно -- а с рядами номер не проходит по простой причине -- их бесконечности. Сторого говоря, ряд -- это не сумма, а суть предел последовательности частичных сумм. Из сходимости одной последовательности никак не следует сходимость другой, а тем более к чему она сходится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2006, 09:20 


26/09/05
530
Понял.
А как например по формуле nworm'a найти слагаемое при S_3 или S_4.
Просто проверить хочется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2006, 18:07 


17/09/05
121
При $n=5$ получается следующее.
Слагаемое при $S_3$:
$$a_0b_3z^3+a_1b_2z^2+a_2b_1z+a_3b_0$$
Слагаемое при $S_4$:
$$a_0b_4z^4+a_1b_3z^3+a_2b_2z^2+a_3b_1z+a_4b_0$$

При $n=2$ получается следующее.
Слагаемое при $S_3$:
$$a_1b_2z^2+a_2b_1z$$
Слагаемое при $S_4$:
$$a_2b_2z^2$$
Но Вы можете использовать и то, что написал photon.

Там имеется ввиду сумма по всем $j$, $k$ таким, что...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2006, 18:30 


26/09/05
530
А Вы пользовались своей формулой в 2-ом посте.
Ну ведь должна быть какая-то чтоли зависимость от n (степени многочлена и функции) и слагаемых при
S_m=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^m
Какое-то сходство прослеживается при увеличении n
$$\sum\limits_{k=1}^N {P_2  \cdot f_3 (\lambda _k  \cdot z)}=N \cdot a_0  \cdot c_0  + S_1  \cdot (a_0  \cdot c_1  + a_1  \cdot c_0 ) + S_2  \cdot (a_0  \cdot c_2  + a_1  \cdot c_1  + a_2  \cdot c_0 ) + S_3  \cdot (a_1  \cdot c_2  + a_2  \cdot c_1 ) + S_4  \cdot a_2  \cdot c_2$$
$$\sum\limits_{k=1}^N {P_3  \cdot f_3 (\lambda _k  \cdot z)}=N \cdot a_0  \cdot c_0  + S_1  \cdot (a_0  \cdot c_1  + a_1  \cdot c_0 ) + S_2  \cdot (a_0  \cdot c_2  + a_1  \cdot c_1  + a_2  \cdot c_0 ) + S_3  \cdot (a_1  \cdot c_2  + a_2  \cdot c_1 ) +$$$$+ S_4  \cdot (a_2  \cdot c_2  + a_3  \cdot c_1  + a_1  \cdot c_3 ) + S_5  \cdot (a_2  \cdot c_3  + a_3  \cdot c_2 ) + S_6  \cdot a_3  \cdot c_3,$$
где $$c_j = b_j\cdot z^j = \frac{f^{ (j) }(0)}{j!}\cdot z^j$$
т.е. S_1\cdot \sum\limits_{k=1}^n (...)+S_2\cdot \sum\limits_{k=1}^n(...)+...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 22:32 


26/09/05
530
А как мне оценить хвост этого ряда:
$$\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {P(\lambda _k )}  \cdot f(\lambda _k  \cdot z)$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2006, 09:58 


26/09/05
530
Мне кажется,что хвост ряда будет прижат из некой величины,которая зависит от
a_i,b_j,n

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2006, 19:52 


26/09/05
530
Как мне для начала представить сумму
$$
\sum\limits_{k = 1}^R {(\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j  \cdot c_i  \cdot } \lambda _k^{i + j} )}
$$
в более простом виде (R \ne n)!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.05.2006, 20:40 


17/09/05
121
Поменяйте местами знаки сумм:
$$
\sum\limits_{k = 1}^R {(\sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j  \cdot c_i  \cdot } \lambda _k^{i + j} )}=
\sum\limits_{i,j = 0}^n {( {a_j  \cdot c_i  \cdot } \sum\limits_{k = 1}^R {\lambda _k^{i + j}} )}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group