Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak
Во-первых, да - описанные у Холла и в Handbook of Combinatorial Designs конструкции идентичны.
Во-вторых, нет - вы неправильно их истолковываете.

Элементы группы 12-го порядка - это выражения вида $a^i b^j$ (или с нижними индексами вместо верхних как у Холла),где $i$ может принимать значения от $0$ до $5$, а $j=0$ или $1$ (причем $a^0 = 1$ и $b^0 = 1$ могут быть опущены в произведении). Здесь абсолютно неважно, чему конкретно равны $a$ и $b$, важно только что степень $a$ всегда берется по модулю 6, а степень $b$ - по модулю 2. Таким образом, существует ровно 12 различных элементов вида $a^i b^j$.

Далее, вы строите 5 латинских квадратов как описано у Холла, и эти квадраты будут состоять из элементов вида $a^i b^j$ (которых, повторюсь, ровно 12 штук различных).

После этого вы единообразно заменяете разные $a^i b^j$ во всех квадратах одновременно числами от 1 до 12. Например, $a^0 b^0=1$ заменяете на 1, $a^1 b^0 = a$ заменяете на 2 и т.д.
Это даст вам 5 MOLS, элементами которых являются числа от 1 до 12.

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

Элементы группы 12-го порядка - это выражения вида $a^i b^j$ (или с нижними индексами вместо верхних как у Холла),где $i$ может принимать значения от $0$ до $5$, а $j=0$ или $1$ (причем $a^0 = 1$ и $b^0 = 1$ могут быть опущены в произведении). Здесь абсолютно неважно, чему конкретно равны $a$ и $b$, важно только что степень $a$ всегда берется по модулю 6, а степень $b$ - по модулю 2. Таким образом, существует ровно 12 различных элементов вида $a^i b^j$.

Ничего не поняла!
Во-первых, нижний индекс - это индекс, а показатель степени (как у вас написано) - это показатель степени. Так как же понимать выражение $a^i b^j$? В нём $i$ и $j$ индексы или показатели степени?
Перед тем, как разбираться с построением Холла, я, конечно, открыла Википедию и посмотрела, что такое абелева группа. Однако ни по описанию, данному Холлом, ни по вашему описанию я не могу составить абелеву группу 12-го порядка, состоящую из 12 различных элементов, таких, что для некоторой бинарной операции в этой группе для любых элементов $a$ и $b$, принадлежащих данной группе, верно: $ab = ba$. Именно так я поняла по определению, данному в Википедии, абелеву группу.
Давайте конкретно, без символов и без индексов: какие 12 различных элементов составляют абелеву группу 12 порядка, из которых можно строить ортогональные латинские квадраты 12-го порядка? Как далее составить из этих элементов 5 строк? Что далее делать с элементами этих строк? Покажите, пожалуйста, хотя бы пару ОЛК 12-го порядка, построенную таким способом.
Вот, например, по вашему описанию я пишу 12 различных элементов абелевой группы 12-го порядка:
1, b, a, ab, a^2, a^2b, a^3, a^3b, a^4, a^4b, a^5, a^5b
Это правильные элементы? Я понимаю здесь $i$ и $j$ как показатели степени. Но когда я беру произвольные числовые значения, у меня получается ерунда какая-то, а не абелева группа.

[PAV]

Nataly-Mak в сообщении #187908 писал(а):

Во-первых, нижний индекс - это индекс, а показатель степени (как у вас написано) - это показатель степени.

Это не индексы и не показатели степени. Это формальные выражения. Их можно писать так, как Вам удобно. Как степени может быть удобнее, потому что правило произведения естественно записывается через них. Но их не нужно пытаться интерпретировать как "числа", это просто такие 12 абстрактных наборов значков.

Произведение двух элементов группы определяется по формуле:

$(a^ib^j)\cdot(a^vb^w) = a^{[i+v]}b^{[j+w]}$

где $[i+v]$ берется по модулю 6, а $[j+w]$ берется по модулю 2.

Например:
$(ab)\cdot(a^3b) = a^4$
$(a^2b)\cdot(a^4b) = 1$
$(a^4b)\cdot a^5 = a^3b$

и так далее.

В принципе, эти вещи изучают на первом курсе математических факультетов. Наверное, если Вы работаете с методами, основанных на абстрактной алгебре, то стоит потратить некоторое время на ее изучение, чтобы знать хотя бы азы.

[Nataly-Mak]

PAV писал(а):

Это не индексы и не показатели степени. Это формальные выражения. Их можно писать так, как Вам удобно. Как степени может быть удобнее, потому что правило произведения естественно записывается через них. Но их не нужно пытаться интерпретировать как "числа", это просто такие 12 абстрактных наборов значков.

Произведение двух элементов группы определяется по формуле:

$(a^ib^j)\cdot(a^vb^w) = a^{[i+v]}b^{[j+w]}$

где $[i+v]$ берется по модулю 6, а $[j+w]$ берется по модулю 2.

Например:
$(ab)\cdot(a^3b) = a^4$
$(a^2b)\cdot(a^4b) = 1$
$(a^4b)\cdot a^5 = a^3b$

и так далее.

В принципе, эти вещи изучают на первом курсе математических факультетов. Наверное, если Вы работаете с методами, основанных на абстрактной алгебре, то стоит потратить некоторое время на ее изучение, чтобы знать хотя бы азы.

Спасибо за пояснения. Но я не могу построить квадраты из формальных символов (абстрактных значков), мне нужны конкретные числа. А получить эти числа по непонятным мне формальным выражениям я не могу. Потому и обращаюсь с вопросом.
Мне не приходилось ещё сталкиваться при построении магических квадратов с абелевой группой. В принципе, да, наверное в 1967 году, когда я училась на первом курсе математического факультета, я знала, что такое абелева группа и как определяются её элементы. А сейчас, увы, уже не знаю. Потому и попросила разъяснить на конкретных числах, а не на формальных символах.

[PAV]

Как от абстрактной группы переходить к числам, составляющим магический квадрат - это является частью метода построения и должно быть описано там же.

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

maxal писал(а):

После этого вы единообразно заменяете разные $a^i b^j$ во всех квадратах одновременно числами от 1 до 12. Например, $a^0 b^0=1$ заменяете на 1, $a^1 b^0 = a$ заменяете на 2 и т.д.
Это даст вам 5 MOLS, элементами которых являются числа от 1 до 12.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak писал(а):

Вот, например, по вашему описанию я пишу 12 различных элементов абелевой группы 12-го порядка:
1, b, a, ab, a^2, a^2b, a^3, a^3b, a^4, a^4b, a^5, a^5b
Это правильные элементы? Я понимаю здесь $i$ и $j$ как показатели степени. Но когда я беру произвольные числовые значения, у меня получается ерунда какая-то, а не абелева группа.

Я задала конкретный вопрос (см. цитату). Можно получить на него конкретный ответ?
Далее, прежде чем переходить к заменам, о которых написал maxal, надо все эти пять квадратов заполнить этими самыми абстрактными группами.
Ещё: мной приведены конкретные числовые пять первых строк из книги (см. пост выше). Как интерпретировать эти числовые элементы? Можно дать конктретный ответ?
Или вы хотите сказать: иди старуха на свою печку?

[PAV]

Элементы группы Вы выписали правильно. Но суть не в том, какими значками их обозначить, а в том, как их перемножать.

Их можно перенумеровать числами от 1 до 12 в том порядке, в котором они выписаны. Тогда группа будет иметь вид $\{1,2,\ldots,12\}$. Но Вы должны понимать, что умножение в этой группе не будет иметь никакого отношения к умножению целых чисел. Например, в этой группе будет $2\cdot2=1$ и так далее.

Что Вы имели в виду под "ерундой" - не понятно.

[Nataly-Mak]

Построила два ортогональных квадрата 12-го порядка.
Первый латинский квадрат:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7
3 4 5 6 1 2 9 10 11 12 7 8
4 5 6 1 2 3 10 11 12 7 8 9
5 6 1 2 3 4 11 12 7 8 9 10
6 1 2 3 4 5 12 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6
8 9 10 11 12 7 2 3 4 5 6 1
9 10 11 12 7 8 3 4 5 6 1 2
10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3
11 12 7 8 9 10 5 6 1 2 3 4
12 7 8 9 10 11 6 1 2 3 4 5

Второй латинский квадрат:

1 7 9 3 8 2 10 12 5 11 6 4
2 8 10 4 9 3 11 7 6 12 1 5
3 9 11 5 10 4 12 8 1 7 2 6
4 10 12 6 11 5 7 9 2 8 3 1
5 11 7 1 12 6 8 10 3 9 4 2
6 12 8 2 7 1 9 11 4 10 5 3
7 1 3 9 2 8 4 6 11 5 12 10
8 2 4 10 3 9 5 1 12 6 7 11
9 3 5 11 4 10 6 2 7 1 8 12
10 4 6 12 5 11 1 3 8 2 9 7
11 5 1 7 6 12 2 4 9 3 10 8
12 6 2 8 1 7 3 5 10 4 11 9

Ещё три квадрата пока не построила, но теперь уже знаю, как их строить.
Может быть, совместными усилиями и вот это одолеем?
Teorem [2037] $N(14)>=3$. This follows from the existence of $a(13,5;1,1;1)$ quasi-difference matrix:

0 12 10 0 6 12 0 10 8 – 7 0 1 6 9
4 0 10 10 0 5 11 0 4 0 – 8 3 5 1
4 12 0 2 4 0 12 7 0 11 0 – 9 2 3
10 4 12 11 7 8 3 9 1 11 7 8 – 0 0
5 2 6 10 4 12 6 5 2 3 9 1 0 – 0

(из той же книги Handbook of Combinatorial Designs)
Что это за матрица? Как из неё получить группу MOLS 14-го порядка, состоящую из трёх квадратов? Это очень похоже на то, что в статье Тодорова.
Ещё такой вопрос: можно ли с помощью абелевых групп строить группы MOLS других порядков?

[maxal]

maxal в сообщении #187899 писал(а):

Teorem [2037] $N(14)>=3$. This follows from the existence of $a(13,5;1,1;1)$ quasi-difference matrix:

Вот в этой редакции квадраты построены явно: http://books.google.com/books?id=g6LDYlJ36CgC&pg=PA116

Nataly-Mak в сообщении #188033 писал(а):

Ещё такой вопрос: можно ли с помощью абелевых групп строить группы MOLS других порядков?

Может и можно, но нужно догадаться как. Вот упомянутые Дюльмаж, Джонсон и Мендельсон догадались, как использовать абелеву группу 12-го порядка для построения MOLS. Но их метод "одноразовый" и на другие размерности в лоб не переносится.

[Nataly-Mak]

О, maxal, какая книга! Скачать там, конечно, не дадут (от волнения забыла посмотреть о скачивании)? Даже просмотр при первом разе ограничен. Сфотографировала MOLS-14. Я уже два месяца ищу эту группу. Наконец-то я её вижу! Правда, ещё не смотрела, что там. Бегу смотреть.
Спасибо!!

[shwedka]

Замечательно!!!
Я Вам посылала эту книгу, но второе издание, 2007 года, откуда такие подробности исчезли.Это издание --1996 года.

[Nataly-Mak]

shwedka
Ну, разумеется! Я же из книги, которую вы мне присылали, и привела эту самую теорему (см. пост выше), но без этих самых - очень важных - подробностей. Не могли бы вы прислать мне ту же самую главу, вырезав её из всей книги, из того издания, которое привёл maxal? А то по указанной ссылке скачать книгу не получается. Я эту главу, которую вы мне прислали, очень тщательно проштудировала. Там очень много ценнейшего материала.
Спасибо вам огромное!

[shwedka]

У меня старого издания нет. Если появится, дам знать

[PAV]

Кстати, между прочим, авторы этой книги являются также редакторами постоянно выходящего журнала Journal of Combinatorial Designs. Вполне вероятно, что если кто в мире и занимается магическими квадратами, то это место - вполне подходящее для публикаций. Это я к тому, что его имеет смысл просматривать, если хотите быть в курсе современных достижений.

[Nataly-Mak]

shwedka
Это ещё на всё! Продолжаю вчитываться в ту главу, которую вы мне прислали (хотя читать не умею )
И вот что я вычитала:
Remark Many of the constructions for MOLS in the remainder of this section use difference matrices, quasi-difference matrices, or V(m,t) vectors. To go from these object to a set of MOLS, see the constructions in VI.17.
Насколько я могу понимать, здесь сказано, что конструирование MOLS из приведённых далее определяющих матриц, квази-определяющих матриц или V(m,t) векторов надо смотреть в параграфе VI.17. А этого параграфа у меня нет, вы ведь вырезали главу из книги, помните? Я посмотрела в конце этой главы есть ссылка на этот параграф, он называется: Difference matrices, quasi-difference matrices and V(m,t) vectors are used to construct MOLS. Пожалуйста, пришлите мне эту главу именно из издания 2007 года. Кстати, по-моему, в издании 1996 г. такой главы вообще нет. Это как раз то, что я никак не могу найти: как по определяющим матрицам конструировать сами MOLS (не путать определяющую матрицу с ортогональным массивом; по ортогональному массиву поняла, как строить MOLS).
Группу из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка построила. Там даже конструкция задана с пятью переменными. так что, можно построить 120 подобных групп MOLS. Однако, судя по статье Тодорова (если я правильно поняла), он построил такую определяющую матрицу, которая даёт возможность построить 375 различных групп MOLS 14-го порядка.