аксиомы ZFC и формализация тождества

[gefest_md]

Svеznoy,

Svеznoy писал(а):

Отрицание $\forall b(b \notin a_1 \land b\notin a_2)$ это противоречие : $\exists b(b \in \varnothing_1) \leftrightarrow \exists b(b \in \varnothing_2)$,

Противоречие - когда выводится формула и одновременно её отрицание ($\mathfrak{U}\wedge\overline{\mathfrak{U}}$.)
$\overline{\forall b(\overline{b \in a_1}\land\overline{b\in a_2})}$

$\exists b\overline{(\overline{b \in a_1}\land\overline{b\in a_2})}$

$\exists b(b \in a_1 \vee b\in a_2)$

$\exists b(b \in a_1)\vee\exists b(b\in a_2)$

$\forall$ дистрибутивен по отношению к конъюнкции, $\exists$ - по отношению к дизъюнкции.
ПС. Могу посоветовать, что почитать. Доказательство AD-a

[ZVS]

gefest_md писал(а):

Противоречие - когда выводится формула и одновременно её отрицание

В математике времени нет!Все что есть,введено или предположено существует одновременно,либо не существует.Где в аксиоматике терии множеств есть именно последовательность действий-сначало и потом?!Потому к конструктивистам и относятся с подозрениям ,но терпят.Когда будет НАДО,рассматривать формулы в последовательности, а не одновременно..
P.S.Не удержался,влез.Пример больно хорош.

[AD]

ZVS в сообщении #187895 писал(а):

P.S.Не удержался,влез.Пример больно хорош.

У Вас это вышло весьма уродливо, потому что ясно, что слово "одновременно" ко времени никакого отношения не имело. Поэтому вышла дешевая придирка к словам, не более того.

[Svеznoy]

Xaositect писал(а):

$$(b\notin a_1) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False})$$

$$(b\notin a_1) \& (b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False} \equiv b\in a_2)$$

$$(\forall b)((b\notin a_1 \& b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Применим истинное утверждение

$$(\forall x A(x)\rightarrow B(x)) \rightarrow (\forall x A(x)\rightarrow \forall x B(x))$$

1.

$$((\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)) \rightarrow (\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Пусть

$$a_1$$

и

$$a_2$$

пустые, т.е.

$$\forall b (b\notin a_1)$$

,

$$\forall b (b\notin a_2)$$

Применяем еще одну тавтологию,

$$(\forall x A(x) \& \forall x B(x))\rightarrow \forall x (A(x)\&B(x))$$

$$(\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)$$

Учитывая (1),

$$\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2)$$

И, наконец, по аксиоме объемности

$$a_1=a_2$$

У Вас что, заранее известно, что пустые множества равны ?
Ваша формула:
1.

$$((\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)) \rightarrow (\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Истинна только когда $a_1$ и $a_2$ - пустые множества ?
А если они не пусты, вы что будете применять другую ? На каком основании ?
Если Вы считаете, что эта формула тождественно истинна для всех $a_1$ и $a_2$, тогда подставьте в нее любые не пустые множества и посмотрите что получится.
Конечно, если Вы заранее положите, что они равны - все сойдется.
НО !!! - Вы это еще только собираетесь доказать.
Даже слепой крот это увидит.
Пустые множества не сравнимы, отсюда следует, что и все множества, построенные на пустом несравнимы.
Аксиома объемности и аксиома пустого множества противоречат друг другу.

Добавлено спустя 6 минут 52 секунды:

Xaositect писал(а):

$$(b\notin a_1) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False})$$

...
Пусть

$$a_1$$

и

$$a_2$$

пустые, т.е.

$$\forall b (b\notin a_1)$$

,

$$\forall b (b\notin a_2)$$

...

Ваше $\forall b (b \notin a_1)$ может содержать $b$, которые пусты, много таких $b$, для которых еще не доказано, что они равны, или не равны.

Добавлено спустя 8 минут 35 секунд:

[quote="Svеznoy"][quote="Xaositect"]

$$(b\notin a_1) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False})$$

$$(b\notin a_1) \& (b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False} \equiv b\in a_2)$$

$$(\forall b)((b\notin a_1 \& b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Что же Вы здесь не добавили ${FALSE}$ ?

Добавлено спустя 36 минут 32 секунды:

Короче, ставтье знак ! после квантора существования в аксиоме пустого множества, что само по себе искусственно и по видимому влечет удаление противоречия на бесконечность, и как следствие разделение бесконечных множеств на счетные и несчетные или оставляйте все как есть и будете иметь несравнимые множества - все, даже конечные.
Перефразируя известную цетату, можно сказать, что бог не создавал натуральные числа, все как раз наоборот, он создал континнум, это человек выдумал себе натуральные числа, чтобы их можно было сравнивать.

[epros]

Svеznoy писал(а):

Пустые множества не сравнимы

Пустые множества равны в силу того, что состоят из одинаковых элементов (аксиома объёмности).

Svеznoy писал(а):

Даже слепой крот это увидит.

[Svеznoy]

epros писал(а):

Svеznoy писал(а):

Пустые множества не сравнимы

Пустые множества равны в силу того, что состоят из одинаковых элементов (аксиома объёмности).

Svеznoy писал(а):

Даже слепой крот это увидит.

Да, конечно, ПУСТЫЕ МНОЖЕСТВА СОСТОЯТ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

[epros]

Svеznoy писал(а):

epros писал(а):

Svеznoy писал(а):

Пустые множества не сравнимы

Пустые множества равны в силу того, что состоят из одинаковых элементов (аксиома объёмности).

Svеznoy писал(а):

Даже слепой крот это увидит.

Да, конечно, ПУСТЫЕ МНОЖЕСТВА СОСТОЯТ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Теперь Вам осталось сделать ещё одно гигантское интеллектуальное усилие и сообразить, что: ПОЭТОМУ ОНИ РАВНЫ.

[Svеznoy]

иЗ ПРОТИВОРЕЧИЯ СЛЕДУЕТ ВСЕ ЧТО ХОЧЕШЬ, ДАЖЕ ВАШЕ АПРИОРНОЕ РАВЕНСТВО

[вздымщик Цыпа]

Svеznoy в сообщении #188051 писал(а):

иЗ ПРОТИВОРЕЧИЯ СЛЕДУЕТ ВСЕ ЧТО ХОЧЕШЬ, ДАЖЕ ВАШЕ АПРИОРНОЕ РАВЕНСТВО

Где противоречие? Вас смущает русское слово «состоит»? Или может быть Вы не в курсе, что утверждение $A\Leftrightarrow B$ верно не только когда $A$ и $B$ оба верны, а еще и когда они оба неверны?

[Svеznoy]

В тот то и дело, что в курсе.
Когда Вы говорите, что множества равны, Вы что имеете в виду, что $A$ и $B$ оба истинны, или оба ложны ?
Без априорного предположения о том, что они истинны или ложны у Вас и $\forall b(b \notin a_1 \land b \notin a_2)$ не истинно и не ложно.

[epros]

Svеznoy писал(а):

иЗ ПРОТИВОРЕЧИЯ СЛЕДУЕТ ВСЕ ЧТО ХОЧЕШЬ, ДАЖЕ ВАШЕ АПРИОРНОЕ РАВЕНСТВО

Во-первых, зачем так кричать?

А во-вторых, аксиома объёмности переводится на русский язык так: "Если множества состоят из одинаковых элементов, то они равны". Так что прямо применяйте эту аксиому, и больше ни о чём не задумывайтесь.

Добавлено спустя 4 минуты 39 секунд:

Svеznoy писал(а):

Когда Вы говорите, что множества равны, Вы что имеете в виду...

Когда говорится, что объекты равны, то имеется в виду что это один и тот же объект.

[вздымщик Цыпа]

Svеznoy в сообщении #188061 писал(а):

$\forall b(b \notin a_1 \land b \notin a_2)$

А кому эти интересно? Интересно, $\forall b(b \notin a_1 \Leftrightarrow b \notin a_2)$, ну или $\forall b(b \in a_1 \Leftrightarrow b \in a_2)$, что одно и то же.

[Svеznoy]

Когда множества не равны, $A \leftrightarrow B$ не истинно и не ложно.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

вздымщик Цыпа писал(а):

Svеznoy в сообщении #188061 писал(а):

$\forall b(b \notin a_1 \land b \notin a_2)$

А кому эти интересно? Интересно, $\forall b(b \notin a_1 \Leftrightarrow b \notin a_2)$, ну или $\forall b(b \in a_1 \Leftrightarrow b \in a_2)$, что одно и то же.

Это же посылка AD.

Добавлено спустя 4 минуты 35 секунд:

epros писал(а):

Svеznoy писал(а):

иЗ ПРОТИВОРЕЧИЯ СЛЕДУЕТ ВСЕ ЧТО ХОЧЕШЬ, ДАЖЕ ВАШЕ АПРИОРНОЕ РАВЕНСТВО

Во-первых, зачем так кричать?

Простите, нервничаю.

[AD]

Откровенный троллинг ... Даже очень откровенный ... Как всегда, правда ведь?

[Svеznoy]

вздымщик Цыпа писал(а):

Svеznoy в сообщении #188061 писал(а):

$\forall b(b \notin a_1 \land b \notin a_2)$

А кому эти интересно? Интересно, $\forall b(b \notin a_1 \Leftrightarrow b \notin a_2)$, ну или $\forall b(b \in a_1 \Leftrightarrow b \in a_2)$, что одно и то же.

Вы спутали конъюнкцию с эквивалентностью, первая формула должна быть конъюнкцией по теореме.

Добавлено спустя 51 минуту 18 секунд:

Таблица истинности конъюнкции такая же как как у равенства.
Но переход равенства в конъюнкцию и наоборот происходит через эквивалентность. При этом отрицания тех же логических значений $A,B$ при этих отображениях из конъюнкции в эквивалентность и из равенства в эквивалентность при обратных отображениях могут и не сопасть. После обратных отображений таблицы истинности конъюнкции и равенства могут быть симметрично отражены. Когда множества содержат элементы можно проследить (неформально) что истинностные значения отобразились правильно, ложные при этом могли перемешатся, "запутаться". Поэтому нужно знать куда отображаются ложные значения иначе после отрицаний (как с пустым множеством) и повторных отображений получится неизвестно что.
Вы исходите из того, что не важно, ложны $A,B$ в эквивалентности или истинны, а зря, это как раз и определяет, перемешались ложные значения или нет, а следовательно истинностные значения таблиц конъюнкции и равенства могли отразится, а Вы их используете так, как будто ничего не произошло.