2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 особенность функции
Сообщение01.05.2006, 20:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Определим функцию f(z) по следующей схеме: выберем $z_1=z$ и определим последовательность по рекурентной формуле: $z_{n+1}=z_n+(\frac{z}{n})^2$ и определим значение $$f(z)=\lim_{n\to \infty } z_n .$$
1. Доказать, что f(z) аналитичная функция в единичном круге.
2. Какая особенность у этой функции в точке z=1?

 Профиль  
                  
 
 Re: особенность функции
Сообщение01.05.2006, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Руст писал(а):
Определим функцию f(z) по следующей схеме: выберем $z_1=z$ и определим последовательность по рекурентной формуле: $z_{n+1}=z_n+(\frac{z}{n})^2$ и определим значение $$f(z)=\lim_{n\to \infty } z_n .$$
1. Доказать, что f(z) аналитичная функция в единичном круге.
2. Какая особенность у этой функции в точке z=1?

Где-то у Вас опечатка. По Вашей формуле,
$f(z)=z +(\frac{\pi^2}{6}-1) z^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2006, 08:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, упустил индекс в рекурентной формуле: $$z_{n+1}=z_n+(\frac{z_n}{n})^2.$$
Позвольте заметить и ваше упущение: зря уменьшили на 1 коэффициент перед z^2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2006, 12:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Даю решение этой простой задачи.
Так как $z_n(z)$ является многочленом степени $2^{n-1}$ от z и $|z_n(z)|\le z_n(|z|)$, то достаточно доказать ограниченность этих функций для |z|<1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2006, 13:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Для оценки введём новую последовательность $y_{n+1}=\frac{1}{z_n}$ для положительных начальных значений z и перепишем рекурентное соотношение:
$$y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\frac{1}{n^2y_n}}>y_n(1-\frac{1}{n^2y_n})=y_n-\frac{1}{n^2}$$.
Отсюда следует ограниченность последовательностей и даже начальные члены ряда Лорана для искомой функции:
$f(z)=\frac{-1}{z-1}-\frac{\pi ^2}{6}+a_1(z-1)+...$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group