особенность функции

[Руст]

Определим функцию f(z) по следующей схеме: выберем $z_1=z$ и определим последовательность по рекурентной формуле: $z_{n+1}=z_n+(\frac{z}{n})^2$ и определим значение

$$f(z)=\lim_{n\to \infty } z_n .$$

1. Доказать, что f(z) аналитичная функция в единичном круге.
2. Какая особенность у этой функции в точке z=1?

[shwedka]

Руст писал(а):

Определим функцию f(z) по следующей схеме: выберем $z_1=z$ и определим последовательность по рекурентной формуле: $z_{n+1}=z_n+(\frac{z}{n})^2$ и определим значение

$$f(z)=\lim_{n\to \infty } z_n .$$

1. Доказать, что f(z) аналитичная функция в единичном круге.
2. Какая особенность у этой функции в точке z=1?

Где-то у Вас опечатка. По Вашей формуле,
$f(z)=z +(\frac{\pi^2}{6}-1) z^2$

[Руст]

Да, упустил индекс в рекурентной формуле:

$$z_{n+1}=z_n+(\frac{z_n}{n})^2.$$

Позвольте заметить и ваше упущение: зря уменьшили на 1 коэффициент перед z^2.

[Руст]

Даю решение этой простой задачи.
Так как $z_n(z)$ является многочленом степени $2^{n-1}$ от z и $|z_n(z)|\le z_n(|z|)$, то достаточно доказать ограниченность этих функций для |z|<1.

[Руст]

Для оценки введём новую последовательность $y_{n+1}=\frac{1}{z_n}$ для положительных начальных значений z и перепишем рекурентное соотношение:

$$y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\frac{1}{n^2y_n}}>y_n(1-\frac{1}{n^2y_n})=y_n-\frac{1}{n^2}$$

.
Отсюда следует ограниченность последовательностей и даже начальные члены ряда Лорана для искомой функции:
$f(z)=\frac{-1}{z-1}-\frac{\pi ^2}{6}+a_1(z-1)+...$