Помогите с интегралом

[Everest]

Нужно найти следуюший интеграл:
$\int \frac{dx}{({1-\sqrt{1-x^2})}^2}$.
У меня не сходится с ответом. Ответ в учебнике такой: $\frac{3t^2-1}{6t^3}+C, где t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$. Я так понимаю $t$ - то замена, которую надо было проводить, чем она обусловлена не пойму, т.е. как ее получили. Объясните, пожалуйста!

[Brukvalub]

Учите подстановки Эйлера.

[Everest]

Если честно пробовал, так и не понял почему именно $t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$

[Brukvalub]

Everest в сообщении #187683 писал(а):

Если честно пробовал, так и не понял почему именно $t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$

Выпишите здесь подстановки Эйлера для квадратичных иррациональностей.

[Everest]

Спасибо, вроде дошло

[gris]

Вообще если не заучивать список замен, то здесь самая естественная замена $x=\sin t$.
Тогда $dx=\cos t dt$ и интеграл сведётся к $\int \frac {\cos t dt}{(1-cost)^2}$.
Теперь сделаем универсальную замену $y=\tg(x/2)$. Получим
$\int \frac {2(1-y^2)/(1+y^2)^2 dy}{4y^4/(1+y^2)^2}=\int \frac {(1-y^2) dy}{2y^4}=-\frac{1}{6y^3}+\frac {1}{2y}+C$

Нигде не ошибся?

[Brukvalub]

gris в сообщении #187690 писал(а):

Вообще если не заучивать список замен, то здесь самая естественная замена $x=\sin t$.

Эту замену тоже требуется заучить!