2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите с интегралом
Сообщение19.02.2009, 14:52 
Нужно найти следуюший интеграл:
$\int \frac{dx}{({1-\sqrt{1-x^2})}^2}$.
У меня не сходится с ответом. Ответ в учебнике такой: $\frac{3t^2-1}{6t^3}+C, где t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$. Я так понимаю $t$ - то замена, которую надо было проводить, чем она обусловлена не пойму, т.е. как ее получили. Объясните, пожалуйста! :D

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:22 
Аватара пользователя
Учите подстановки Эйлера.

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:25 
Если честно пробовал, так и не понял почему именно $t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:27 
Аватара пользователя
Everest в сообщении #187683 писал(а):
Если честно пробовал, так и не понял почему именно $t=\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{x}$
Выпишите здесь подстановки Эйлера для квадратичных иррациональностей.

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:33 
Спасибо, вроде дошло :)

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:39 
Аватара пользователя
Вообще если не заучивать список замен, то здесь самая естественная замена $x=\sin t$.
Тогда $dx=\cos t dt$ и интеграл сведётся к $\int \frac {\cos t dt}{(1-cost)^2}$.
Теперь сделаем универсальную замену $y=\tg(x/2)$. Получим
$\int \frac {2(1-y^2)/(1+y^2)^2 dy}{4y^4/(1+y^2)^2}=\int \frac {(1-y^2) dy}{2y^4}=-\frac{1}{6y^3}+\frac {1}{2y}+C$

Нигде не ошибся?

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 15:41 
Аватара пользователя
gris в сообщении #187690 писал(а):
Вообще если не заучивать список замен, то здесь самая естественная замена $x=\sin t$.
Эту замену тоже требуется заучить! :D

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group