функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[nckg]

Здравствуйте!

$H^1(0,1)$ вложено в $C[0,1]$, значит любая функция из $H^1(0,1)$ является непрерывной.
Существует ли непрерывная функция из $C[0,1]$, не принадлежащая $H^1(0,1)$?

Например, подойдёт ли функция Вейерштрасса или Ван-дер-Вардена?

[Хорхе]

$H^1(0,1)$ -- это кто?

[ewert]

nckg писал(а):

Здравствуйте!

$H^1(0,1)$ вложено в $C[0,1]$, значит любая функция из $H^1(0,1)$ является непрерывной.
Существует ли непрерывная функция из $C[0,1]$, не принадлежащая $H^1(0,1)$?

Например, подойдёт ли функция Вейерштрасса или Ван-дер-Вардена?

Подойдёт, естественно. Они нигде не дифференцируемы, в то время как абсолютно непрерывные функции дифференцируемы почти всюду.

($H^1[0;1]\equiv\left\{\forall u\colon\int_0^1(|u'(x)|+|u(x)|)dx\neq+\infty\right\}$)

[nckg]

ewert писал(а):

Подойдёт, естественно. Они нигде не дифференцируемы, в то время как абсолютно непрерывные функции дифференцируемы почти всюду.

Отлично! Спасибо.

Добавлено спустя 3 минуты 9 секунд:

P.S. Под $H^1[0;1]$ я имел в виду
($H^1[0;1]\equiv\left\{\forall u\colon\int_0^1(|u'(x)|^2+|u(x)|^2)dx\neq+\infty\right\}$), но то, что $u'\in L_1(0,1)$ отсюда следует.

[ewert]

да, это у меня какая-то аберрация: $H^l=W_2^l$

[Gafield]

nckg писал(а):

Существует ли непрерывная функция из $C[0,1]$, не принадлежащая $H^1(0,1)$?

Очевидно, да, поскольку пространство $H^1$ гильбертово, а $C[0,1]$ нет.
А примеры есть и попроще, например, $\sqrt x$.

[nckg]

Gafield писал(а):

А примеры есть и попроще, например, $\sqrt x$.

Тоже хороший пример:) Что-то я не догадался до такого
Насчёт гильбертовости --- тоже правильное замечание.

[ewert]

Gafield писал(а):

nckg писал(а):

Существует ли непрерывная функция из $C[0,1]$, не принадлежащая $H^1(0,1)$?

Очевидно, да, поскольку пространство $H^1$ гильбертово, а $C[0,1]$ нет.

Ну и что? Почему в гильбертовом пространстве нельзя ввести негильбертовой нормы, с сохранением полноты?

Кстати: пример с корнями, конечно, хорош для $W_2^1$ (вообще для $W_p^1$ при $p>1$), но вот для $W_1^1$ придётся уже поискать что-то хоть немножко, но поизысканнее.

[Gafield]

Насколько я помню, в $C^[0,1]$ нельзя ввести гильбертову норму. А для $W_1^1$ подойдет $x \sin x^{-1}$.

[ewert]

Gafield писал(а):

Насколько я помню, в $C^[0,1]$ нельзя ввести гильбертову норму.

Скорее всего, нельзя. Но почему? Я вот так сходу и не скажу. Во всяком случае, этот факт гораздо менее тривиален, чем обсуждаемый.

Gafield писал(а):

А для $W_1^1$ подойдет $x \sin x^{-1}$.

Да, ровно это и имелось в виду.

[nckg]

ewert писал(а):

Gafield писал(а):

Насколько я помню, в $C^[0,1]$ нельзя ввести гильбертову норму.

Скорее всего, нельзя. Но почему? Я вот так сходу и не скажу. Во всяком случае, этот факт гораздо менее тривиален, чем обсуждаемый.

Если бы в $C[0,1]$ можно было ввести скалярное произведение, с которым оно стало бы гильбертовым,
то с учётом леммы Рисса мы получили бы что $C[0,1]^*=C[0,1]$, а на самом деле $C[0,1]^*= \mathbf{rca}[0,1]$ (см. Канторович-Акилов). И останется, видимо, показать, что $C[0,1]$ и $\mathbf{rca}[0,1]$ не изометричны (чего я сделать не берусь )...

[Gafield]

Ну, как известно, $C[0,1]$ устроено гораздо сложнее и является в некотором смысле универсальным: любое сепарабельное нормированное пространство можно изометрически вложить в $C[0,1]$. А гильбертово пространство - типа самое простое У него все замкнутые подпространства гильбертовы.

[nckg]

Можно было ещё так: гильбертово пространство рефлексивно, а $C[0,1]$ --- нет. Но всё же тут есть одно неявное предположение - что
мы вводим скалярное произведение так, что $\|\cdot\|_{C[0,1]}=\sqrt{(\cdot,\cdot)}$ или эквивалентна последней.... а может
как-то по-другому можно ввести?

[мат-ламер]

Можно попробовать поискать в пространстве C[0,1] функции не удовлетворяющие тождеству параллелограмма.

[ewert]

Не нужно искать -- и так ясно, что для оригинальной (равномерной) нормы это тождество не выполняется. Вопрос в другом: можно ли придумать на $C[0;1]$ другую норму, которая была бы гильбертовой? т.е. удовлетворяла бы пресловутому тождеству и давала бы полноту?