Марковские цепи, вывод формулы.

[Anton_74]

В одной книге не совсем ясен один момент.
Вводятся следующие определения:
Марковская цепь - последовательность случайных точек

$$x_1, x_2, ..., x_n,..., $$

такая, что распределение

$$x_n$$

вполне определяется заданием

$$x_{n-1}$$

, или записав в терминах плотности распределения

$$p_n(x_n|x_{n-1}=x',...,x_2=s_2,x_1=s_1)=p_n(x_n|x_{n-1}=x')=r(x',x);$$

$$r(x',x) -\text{ плотность вероятности перехода;}$$

$$\pi(x) -\text{ начальное распределение;}$$

$$p(x') -\text{ вероятность обрыва в точке }x'$$

N - случайный номер последнего состояния.
EN, т.е. математическое ожидание конечно.
Затем вводится еще понятие переходной плотности

$$p(x',x) = r(x',x)[1-p(x')]$$

(т.е. если домножить на

$$dx$$

получится вероятность того, что мы окажемся в

$$dx$$

около

$$x$$

при условии, что до этого были в точке

$$x'$$

и в этой точке процесс не оборвался).
После говорят о том, что "вычислим вероятность события {N = n}"

$$P\left\{N=n\right\}=\left\{\text{т.е. что точка обрыва будет по счету n-ой, на сколько я понял}\right\}=\mathbf{E}[P(N=n|x_0,...,x_n)]=\mathbf{E}\left[p(x_n)\prod\limits_{k=0}^{n-1}(1-p(x_k))\right]= $$

$$=\int\limits_X...\int\limits_X\pi(x_0)p(x_n)\left[\prod\limits_{k=0}^{n-1}(1-p(x_k)r(x_k,x_{k+1}))\right]dx_0...dx_n=$$

$$=\int\limits_X...\int\limits_X\pi(x_0)p(x_n)\left[\prod\limits_{k=0}^{n-1}p(x_k,x_{k+1}))\right]dx_0...dx_n$$

Не понятно следующее, каким образом вычисляется эта вероятность, т.е. почему она находится через математическое ожидание условной вероятности

$$\mathbf{E}[P(N=n|x_0,...,x_n)$$

.
И потом вроде математическое ожидание случайной величины

$$\xi$$

вычисляется как

$$\mathbf{E}\xi=\int\limits_X xf_{\xi}(x)dx$$

,
где

$$x$$

- значения принимаемые случайной величиной

$$\xi$$

,

$$f_{\xi}(x)$$

- плотность распределения вероятности случайной величины

$$\xi$$

.
Подскажите, как здесь понимается на самом деле.

[Henrylee]

$$ P\{N=n\}=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)=E\left(P\left\{N=n|x_0,\dots,x_n\right\}\right) $$

Anton_74 писал(а):

И потом вроде математическое ожидание случайной величины

$$\xi$$

вычисляется как

$$\mathbf{E}\xi=\int\limits_X xf_{\xi}(x)dx$$

,
где

$$x$$

- значения принимаемые случайной величиной

$$\xi$$

,

$$f_{\xi}(x)$$

- плотность распределения вероятности случайной величины

$$\xi$$

.

Верно. И в Вашем случае

$$ f_\xi(x_0,x_1,\dots,x_n)=\pi(x_0)\prod\limits_{k=0}^{n-1}r(x_k,x_{k+1}) $$

[Anton_74]

Henrylee писал(а):

$$ P\{N=n\}=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)=E\left(P\left\{N=n|x_0,\dots,x_n\right\}\right) $$

Т.е

$$P\{N=n\}$$

равняется математическому ожиданию некоторой случайной величины, которая принимает значения равные 1 если N=n?

[Henrylee]

Anton_74 писал(а):

Henrylee писал(а):

$$ P\{N=n\}=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)=E\left(P\left\{N=n|x_0,\dots,x_n\right\}\right) $$

Т.е

$$P\{N=n\}$$

равняется математическому ожиданию некоторой случайной величины, которая принимает значения равные 1 если N=n?

... и ноль во всех остальных точках пространства элементарных событий. Это, по-простому, индикатор.

Доказательство равенства - в полстрочки.

[Anton_74]

Henrylee писал(а):

Anton_74 писал(а):

Henrylee писал(а):

$$ P\{N=n\}=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)=E\left(P\left\{N=n|x_0,\dots,x_n\right\}\right) $$

Т.е

$$P\{N=n\}$$

равняется математическому ожиданию некоторой случайной величины, которая принимает значения равные 1 если N=n?

... и ноль во всех остальных точках пространства элементарных событий. Это, по-простому, индикатор.

Доказательство равенства - в полстрочки.

Спасибо огромное, Henrylee. Смысл, я понял, это главное.

1)Но какое-то странное обозначение,

$$E(P\{N=n|x_0, ..., x_n\})$$

.
Как будто математическое ожидание Вероятности.
Может не те книги читаю, но до этого никогда такое не видел.

2)Да еще кстати запись

$${\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)$$

обозначает случайную величину такую, что точка обрыва будет по номеру n и до этого этого имели место различные точки

$$x_0, \dots,x_n$$

?

3)Может показаться, что я ничего не понимаю, но я пытаюсь рассжудать из тех знаний которыми владею. Как так?

$$E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)$$

Мат ожидание от мат ожидание, будет мат ожидание от константы, а это будет константа.
Мне казалось надо бы написать:

$$E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)$$

.
Но, наверное, в твоей записи есть смысл, который я пока не вижу, поясни если не сложно.

[Henrylee]

Вероятно, вся путаница связана с не очень удачными обозначениями. Сейчас проясню.

Anton_74 писал(а):

Спасибо огромное, Henrylee. Смысл, я понял, это главное.

1)Но какое-то странное обозначение,

$$E(P\{N=n|x_0, ..., x_n\})$$

.
Как будто математическое ожидание Вероятности.
Может не те книги читаю, но до этого никогда такое не видел.

Это мат.ожидание условной вероятности события относительно системы случайных велчин. А этот объект (условная вероятность...) есть случайная величина. Именно в этом месте под $x_0,\dots,x_n$ понимаются случайные величины марковской последовательности.

Anton_74 писал(а):

2)Да еще кстати запись

$${\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)$$

обозначает случайную величину такую, что точка обрыва будет по номеру n и до этого этого имели место различные точки

$$x_0, \dots,x_n$$

?

Эта запись ничего не обозначает. А вот эта запись

$$ E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right) $$

означает условное мат. ожидание с.в относительно системы с.в. и само является с.в.

Anton_74 писал(а):

3)Может показаться, что я ничего не понимаю, но я пытаюсь рассжудать из тех знаний которыми владею. Как так?

$$E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)$$

Мат ожидание от мат ожидание, будет мат ожидание от константы, а это будет константа.

Внутри внешних скобок не константа, а с.в.! (см. выше). Поэтому

Anton_74 писал(а):

$$E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)$$

.

это не верно, т.к. слева константа, а справа с.в.

В формулах, до того, как появляются интегралы, $x_0,\dots,x_n$ - случайные величины марковской последовательности. В записи интегралов этими буквами обозначены уже переменные интегрирования, т.е. числовые значения этих случайных величин.

Добавлено спустя 9 минут 33 секунды:

Еще раз об этом равенстве.

Henrylee писал(а):

$$ P\{N=n\}=E\left({\b 1}_{\{N=n\}}\right)=E\left(E\left({\b 1}_{\{N=n\}}|x_0,\dots,x_n\right)\right)=E\left(P\left\{N=n|x_0,\dots,x_n\right\}\right) $$

Первый переход, как я уже говорил, легко доказать. (слева мера множества, справа - интеграл от индиктора множества).
Второй переход - из свойств у.м.о. - мат ожидания с.в. и ее у.м.о-я относительно других с.в. - равны. Третий переход - по определению условной вероятности события относительно с.в.