Давайте выясним!

[vbn]

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в доказательстве:

Теорема. \zeta(s) не имеет нулей при \sigma=1, s=\sigma+it.

Доказательство. Допустим, \exists t>0 такое, что \zeta(1+it)=0, тогда и \zeta(1-it)=0, а, следовательно, должно выполняться равенство:
\zeta(1+it)\zeta(1-it)=0.

Но

$$\zeta(1+it)\zeta(1-it)=\prod\limits_{p} \frac {1} {\left(1-\frac {1}{p^{1+it}}\right) \left(1-\frac {1}{p^{1-it}}\right)}=\prod\limits_{p} \frac {1} {1-\frac {1}{p^{1+it}}-\frac {1}{p^{1-it}}+\frac {1}{p^2}}=\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2-p(p^{-it}+p^{it})+1}=$$ $$=\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2-2p \frac {e^{i(-t\ln p)}+e^{i(t\ln p)}} {2}+1}=\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1}>\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2+2p+1}=\left(\prod\limits_{p} \frac {p} {p+1}\right)^2=0.$$

Получено противоречие. Теорема доказана.

[Someone]

vbn писал(а):

$$\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1}>\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2+2p+1}=\left(\prod\limits_{p} \frac {p} {p+1}\right)^2=0$$

Вот это неравенство, конечно, очевидно (со знаком $\geqslant$, если не сильно задумываться) для конечного числа сомножителей. Но при переходе к пределу может получиться равенство.

[Феликс Шмидель]

Например, $\frac{2}{3}\frac{3}{4}...=\frac{1}{2}\frac{2}{3}...=0.

[vbn]

Спасибо, Someone!

А если так:

$$\prod\limits_{p} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1}=\frac {2^2} {2^2-4 \cos(t \ln 2)+1} \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1} \geqslant$$ $$\geqslant \frac {4} {4-4 \cos(t \ln 2)+1} \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2+2p+1}>\left|\forall t \ne \frac {\pi (2k+1)} {\ln 2}\right| > \frac {4} {4+4+1} \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2+2p+1}=$$ $$=\frac 4 9 \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2+2p+1} = \frac 4 9 \left(\prod\limits_{p>2} \frac {p} {p+1}\right)^2=0.$$

Чтобы перейти к строгому неравенству для всех t, остается рассмотреть случай, когда

$$t = \frac {\pi (2k+1)} {\ln 2}, k=0, 1, 2, ...$$

Имеем:

$$ \frac {4} {4-4 \cos(t \ln 2)+1} \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1} \geqslant \frac {4} {9} \prod\limits_{p>2} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1}=$$ $$=\frac {4} {9} * \frac {3^2} {3^2-6\cos(t \ln 3)+1} \prod\limits_{p>3} \frac {p^2} {p^2-2p \cos(t \ln p)+1} > \left|\forall t \ne \frac {\pi (2m+1)} {\ln 3}\right| > \frac {4} {9} * \frac {9} {16} \prod\limits_{p>3} \frac {p^2} {p^2+2p+1}=$$ $$= \frac {1} {4} \prod\limits_{p>3} \frac {p^2} {p^2+2p+1}= \frac {1} {4} \left(\prod\limits_{p>3} \frac {p} {p+1}\right)^2=0.$$

Таким образом, \zeta(s) может обращаться в ноль лишь при

$$t = \frac {\pi (2m+1)} {\ln 3}, m=0, 1, 2, ...$$

Итак, задача свелась к поиску решений в целых числах уравнения

$$ \left\{ \begin{array}{l} t = \frac {\pi (2k+1)} {\ln 2},\\ \\ t = \frac {\pi (2m+1)} {\ln 3} \end{array} \right. \Rightarrow \frac {2k+1} {\ln 2} = \frac {2m+1} {\ln 3} \Leftrightarrow \frac {2k+1} {2m+1} = \frac {\ln 2} {\ln 3}.$$

Последнее равенство, очевидно, показывает, что решений нет.
Теорема доказана.

[Someone]

Да нет, проблема-то не в том, что отдельные множители в левой и правой частях равны. Проблема в свойствах пределов: из неравенства $a_n>b_n$ следует всего лишь неравенство $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\geqslant\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ (при условии существования пределов, хотя бы и $\pm\infty$).

[vbn]

Спасибо за разъяснение, Someone!
Хотя жаль, конечно

[sceptic]

AndAll писал(а):

Я имел в виду решения, существующие в моем компьютере

Сообщаю всем, что работа AndAll'а по проблемам Гольдбаха и простых-близнецов прислана автором мне (по моей просьбе) на рецензирование (автор прислал также заметки со своими предварительных результами, относящимися к проблеме Римана - они не выходят за рамки изложенных в этой ветке соображений автора, оценку которым здесь дал Руст 12 фев 2006, 19:21:07 - поэтому дальше я их не буду упоминать). В виду затяжки по времени (привходящие обстоятельства) с моим ответом прошу форумчан, кому интересна эта тема (надеюсь на интерес со стороны Someone и Руста), присоединиться к анализу работы. Для этого прошу AndAllа выложить где-либо файл со статьей (с учетом поправок по моим замечаниям) или выслать его экспертам, буде пожелающим здесь ознакомиться и дать рецензию на статью.

[квадрат]

Вопрос ко всем будет ли доказана гипотеза гольдбаха в обозримом будущем,или она ещё долго будет захватывающей сверхзадачей для теории чисел.Прошу высказать своё мнение тем кто интересуется этой проблемой.

[Руст]

Скажу будет. Только вряд ли я доживу до этого (я не знаю и никому это не дано знать когда проблема решится). Как говорится от этого ответа не холодно не жарко.

[квадрат]

Насчёт того,что не холодно не жарко не согласен познание и прогресс являются наивысшими ценностями и если какоето открытие пока не востребовано в прикладной области то это ещё не значит,что оно и в будущем не будет востребовано в прикладной области,теория чисел тоже долгое время не имела прикладных приложений и развивалась как искуство ради искуства пока не появилась криптография в её современном виде,кто знает куда может быть приложено доказательство гипотезы гольдбаха в том случае конечно если человечество не свернёт с пути знаний и прогресса.

[AndAll]

sceptic писал(а):

AndAll писал(а):

Я имел в виду решения, существующие в моем компьютере

Сообщаю всем, что работа AndAll'а по проблемам Гольдбаха и простых-близнецов прислана автором мне (по моей просьбе) на рецензирование (автор прислал также заметки со своими предварительных результами, относящимися к проблеме Римана - они не выходят за рамки изложенных в этой ветке соображений автора, оценку которым здесь дал Руст 12 фев 2006, 19:21:07 - поэтому дальше я их не буду упоминать). В виду затяжки по времени (привходящие обстоятельства) с моим ответом прошу форумчан, кому интересна эта тема (надеюсь на интерес со стороны Someone и Руста), присоединиться к анализу работы. Для этого прошу AndAllа выложить где-либо файл со статьей (с учетом поправок по моим замечаниям) или выслать его экспертам, буде пожелающим здесь ознакомиться и дать рецензию на статью.

Есть ли на Форуме желающие (впору писать – смелые) посмотреть решение проблем Гольдбаха и близнецов, как я уже писал, вполне элементарное. Sceptic, по видимому, все же очень занят, т.к. в течение уже более трех недель я не получил от него ни строчки. Хотя, на мой взгляд, чтение не должно занять более получаса и обнаружение ошибки, если она там есть, столько же. Если желающие появятся, пришлите мне свой e-mail, чтобы я мог прикрепить файл. И желательно, имя. Конечно, хорошо бы знать и в каких отношениях желающий с математикой, но это не обязательно, я посмотрю на Форуме.

AndAll

[Macavity]

Вот недавно нашел ссылочку на книгу: Г.А. Фомюк, Е.А. Кудина. Закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду. Доказательство гипотезы Римана.
Вроде как 2006 года, утверждают, что нашли закономерности. По-моему здесь не обсуждалась. Может кто-то выскажется:
http://riemann.narod.ru/Riemann.zip

[Macavity]

Macavity писал(а):

Вот недавно нашел ссылочку на книгу: Г.А. Фомюк, Е.А. Кудина. Закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду. Доказательство гипотезы Римана.
Вроде как 2006 года, утверждают, что нашли закономерности. По-моему здесь не обсуждалась. Может кто-то выскажется:
http://riemann.narod.ru/Riemann.zip

Похоже какая-та ерунда...