Количество линейных сюрьективных отображений в конечном поле

[Trotil]

$F$ - поле из $q$ элементов.
Найти количество линейных сюрьективных отображений $F^n$ в $F^k$

Утверждается, что ответ: $(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)...(q^n-q^{k-1})$

Но ведь так у нас останутся $q^n-q^k$ незатронутых связями векторов в пространстве $F^n$. И их нужно дополнительно отобразить на $F^k$, что увеличит общее число линейных сюрьективных отображений. В чем ошибка данного утверждения?

[Хорхе]

Впрочем, почему ошибка?
Линейное сюръективное отображение = матрица $k\times n$ ранга $k$. Выбираем ненулевую первую строку, потом линейно независимую от нее вторую, линейно независимую от них третью и т.д. Получится в точности указанный ответ.