Отображение круга

[kio]

Аналитическая в круге $\{|z|<5\}$ и непрерывная в его замыкании функция $w=f(z)$ отображает этот круг на область, лежащую в $\{\mathrm{Im}\,w\geqslant 0\}.$ Показать, что образ единичной окружности лежит в полосе $[\frac{2}{3}bi,\frac{3}{2}bi],$ где $b=\mathrm{Im}\,f(0).$

[Хорхе]

Определим

$$ g(w) = \frac{2b}{f(5z)-\overline{f(0)}}+i $$

Тогда $g(f(z))$ отображает единичный круг на себя, при этом сохраняя центр. По лемме Шварца для $|y|=1$ имеем

$$ \Big|\frac{2b}{f(y)-\overline{f(0)}}+i\Big|\le 1/5.\eqno{(S)} $$

Пусть $\zeta = f(y) - \overline{f(0)} = \alpha + \beta i$. Домножив $(S)$ на $|\zeta|$ и возведя в квадрат, после очевидных преобразований и оценок придем к $5/3\le \beta/b\le 5/2$, что и требовалось доказать.

[kio]

Судя по еще одной теме, Хорхе умеет решать все задачи по ТФКП, применяя лемму Шварца и дробно-линейное преобразование.

Может, кому-нибудь будет интересно, но здесь можно сразу использовать неравенство Гарнака:
если $u(x,y)\geqslant 0$ гармонична (и непрерывна вплоть до границы) в круге $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2< R^2,$ то она удовлетворяет неравенству Гарнака ($0\leqslant r<R$)

$$ \frac{R-r}{R+r}u(x_0,y_0)\leqslant u(x_0+r\cos\alpha,y_0+r\sin\alpha)\leqslant\frac{R+r}{R-r}u(x_0,y_0) $$

[Хорхе]

kio писал(а):

Судя по еще одной теме, Хорхе умеет решать все задачи по ТФКП, применяя лемму Шварца и дробно-линейное преобразование.

Судя по именно той теме, я как раз умею решать не все задачи по ТФКП

[kio]

Аналитическая в круге $\{|z|<1\}$ функция $f(z)$ отображает этот круг на себя, причём $f(z)\not\equiv z.$ Доказать, что $f$ имеет не более одной неподвижной точки.

[RIP]

Допустим, что неподвижная точка нашлась: $f(a)=a$, $a\in B_1$. Обозначим

$$L(z)=\frac{z-a}{1-\overline az}$$

и рассмотрим функцию

$$g=L\circ f\circ L^{-1}.$$

По лемме Шварца, $g(z)$ имеет единственную неподвижную точку в $B_1$ ($z=0$), поэтому и $f$ тоже.