2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение круга
Сообщение27.11.2008, 22:01 


23/04/07
11
Аналитическая в круге $\{|z|<5\}$ и непрерывная в его замыкании функция $w=f(z)$ отображает этот круг на область, лежащую в $\{\mathrm{Im}\,w\geqslant 0\}.$ Показать, что образ единичной окружности лежит в полосе $[\frac{2}{3}bi,\frac{3}{2}bi],$ где $b=\mathrm{Im}\,f(0).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2008, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Определим
$$
g(w) = \frac{2b}{f(5z)-\overline{f(0)}}+i
$$
Тогда $g(f(z))$ отображает единичный круг на себя, при этом сохраняя центр. По лемме Шварца для $|y|=1$ имеем
$$
\Big|\frac{2b}{f(y)-\overline{f(0)}}+i\Big|\le 1/5.\eqno{(S)}
$$
Пусть $\zeta = f(y) - \overline{f(0)} = \alpha + \beta i$. Домножив $(S)$ на $|\zeta|$ и возведя в квадрат, после очевидных преобразований и оценок придем к $5/3\le \beta/b\le 5/2$, что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2008, 10:25 


23/04/07
11
Судя по еще одной теме, Хорхе умеет решать все задачи по ТФКП, применяя лемму Шварца и дробно-линейное преобразование. :)

Может, кому-нибудь будет интересно, но здесь можно сразу использовать неравенство Гарнака:
если $u(x,y)\geqslant 0$ гармонична (и непрерывна вплоть до границы) в круге $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2< R^2,$ то она удовлетворяет неравенству Гарнака ($0\leqslant r<R$)
$$
\frac{R-r}{R+r}u(x_0,y_0)\leqslant u(x_0+r\cos\alpha,y_0+r\sin\alpha)\leqslant\frac{R+r}{R-r}u(x_0,y_0)
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2008, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
kio писал(а):
Судя по еще одной теме, Хорхе умеет решать все задачи по ТФКП, применяя лемму Шварца и дробно-линейное преобразование. :)

Судя по именно той теме, я как раз умею решать не все задачи по ТФКП :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2008, 22:03 


23/04/07
11
Аналитическая в круге $\{|z|<1\}$ функция $f(z)$ отображает этот круг на себя, причём $f(z)\not\equiv z.$ Доказать, что $f$ имеет не более одной неподвижной точки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Допустим, что неподвижная точка нашлась: $f(a)=a$, $a\in B_1$. Обозначим
$$L(z)=\frac{z-a}{1-\overline az}$$
и рассмотрим функцию
$$g=L\circ f\circ L^{-1}.$$
По лемме Шварца, $g(z)$ имеет единственную неподвижную точку в $B_1$ ($z=0$), поэтому и $f$ тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group