Неоп. интеграл (найти ошибку)

[Усталый]

Нужно найти

$$ \int\frac{dx}{1 + \sin x} $$

$$ \int\frac{dx}{1 + \sin x} = \int\frac{dx}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} = \int\frac{dx}{1 + 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) - 1} = \int\frac{dx}{2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} $$

Дальше применяю метод замены переменных и получаю:

$$ \int\frac{-2 d(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = - \tg (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + C = \tg (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ) + C $$

В Демидовиче ответ:

$$ \tg (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) $$

Где я ошибся?

[ewert]

там, где $\left({\pi\over4}-{x\over2}\right)'=-{1\over2}$, а вовсе не плюс одна вторая. Вот так тупо.

[Усталый]

Так это...У меня вроде так и есть:

$$ \int\frac{ \frac{dx}{-\frac{1}{2}dx} \cdot d(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) }{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} $$

[ShMaxG]

Ошибка в Демидовиче, проверьте производную тангенса...

[AD]

Да, Демидович не прав. Функция $\frac1{1+\sin x}$ вокруг нуля явно неотрицательная, поэтому интеграл должен быть возрастающим.

[ewert]

да, увы, демидовичи тоже могут ошибаться. Знак там и впрямь порассеян.

[Усталый]

Всем спасибо!