2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неоп. интеграл (найти ошибку)
Сообщение15.02.2009, 15:05 
Нужно найти $$ \int\frac{dx}{1 + \sin x} $$

$$ \int\frac{dx}{1 + \sin x} = \int\frac{dx}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} = \int\frac{dx}{1 + 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) - 1} = \int\frac{dx}{2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} $$
Дальше применяю метод замены переменных и получаю:
$$ \int\frac{-2 d(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = - \tg (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + C = \tg (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ) + C $$
В Демидовиче ответ: $$ \tg (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) $$
Где я ошибся?

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 15:20 
там, где $\left({\pi\over4}-{x\over2}\right)'=-{1\over2}$, а вовсе не плюс одна вторая. Вот так тупо.

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 15:25 
Так это...У меня вроде так и есть:

$$ \int\frac{ \frac{dx}{-\frac{1}{2}dx} \cdot d(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})  }{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} $$

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 15:39 
Аватара пользователя
Ошибка в Демидовиче, проверьте производную тангенса...

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 15:44 
Да, Демидович не прав. Функция $\frac1{1+\sin x}$ вокруг нуля явно неотрицательная, поэтому интеграл должен быть возрастающим.

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 15:49 
да, увы, демидовичи тоже могут ошибаться. Знак там и впрямь порассеян.

 
 
 
 
Сообщение15.02.2009, 16:36 
Всем спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group