Задача с параметром

[DoGGy]

привет всем, помогите, пожалуйста решить задачку с параметром, никак не получается

\[ \frac{{(3 + 5^{x - 1} ) - a}}{{a + (4\ctg^2 x + 2\tg^2 x)}} \le 0 \]

при каких значениях параметра а неравенство не имеет решений ?
помогите, плз.. :(

Добавлено спустя 11 минут 50 секунд:

я ведь прав, оно не будет иметь решений, если будут решения того же неравенства только больше либо равно нуля ?? либо можно как-то более грамотно его анализировать ?

[gris]

Посмотрите тут: http://dxdy.ru/topic19210.html#177937
Это почти в точности Ваша задача.


Сначала я переписал бы неравенство в виде:

$$\frac{a-{(3 + 5^{x - 1} )}}{{a + (4ctg^2 x + 2tg^2 x)}} \ge 0$$

и обратил внимание, что при любых значениях $a$ и $x$ числитель строго меньше знаменателя.

[DoGGy]

Цитата:

Сначала я переписал бы неравенство в виде:

$$\frac{a-{(3 + 5^{x - 1} )}}{{a + (4ctg^2 x + 2tg^2 x)}} \ge 0$$

и обратил внимание, что при любых значениях $a$ и $x$ числитель строго меньше знаменателя.

извините, конечно, но откуда берется такое утверждение ?? про то, что числитель строго меньше знаменателя?
Функция 4ctg^2 x + 2tg^2 xимеет минимальное значение

\[ 4\sqrt 2 \]

и убывает до этой точки и возрастает от нее..
Показательная же растет быстрее, насколько я понимаю...

[Хорхе]

DoGGy писал(а):

Показательная же растет быстрее, насколько я понимаю...

Это так. Но вот только если перед ней стоит минус, то она не растет, а убывает

DoGGy писал(а):

Функция 4ctg^2 x + 2tg^2 xимеет минимальное значение

\[ 4\sqrt 2 \]

и убывает до этой точки и возрастает от нее.

Что значит последняя фраза? Ведь $ 4\sqrt 2$, как Вы сами сказали, -- значение функции. Кроме того, эта функция весьма периодическая, и в некоторых конечных точках к бесконечности стремится.

[DoGGy]

Извиняюсь, посмотрел на первоначальную формулировку задания, без "минуса" перед показательной частью.. )

Добавлено спустя 2 минуты 39 секунд:

просто визуально эта функция (сумма тангенса и котангенса) похожа на ветки квадратной параболы, поэтому, как бы

\[4\sqrt 2 \]

ее вершина по игрику

А про промежутки возрастания пишу по некорректно (по игрику), потому что не знаю абсцисыы этой точки.

Добавлено спустя 3 минуты 13 секунд:

т.е. я правильно понимаю, к чему все сводится: нужно чтобы и числитель и знаменатель дроби были положительные (строго ли)?

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

[Хорхе]

DoGGy писал(а):

т.е. я правильно понимаю, к чему все сводится: нужно чтобы и числитель и знаменатель дроби были положительные ?

Или оба отрицательные.

Цитата:

(строго ли)?

Ну знаменатель-то строго.

[DoGGy]

т.е. у меня два варианта:

\[ a - (3 + 5^{x - 1} ) \le 0 \]

одновременно с

\[ a + (4ctg^2 x + 2tg^2 x) > 0 \]

или

\[ a - (3 + 5^{x - 1} ) \ge 0 \]

с

\[ a + (4ctg^2 x + 2tg^2 x) < 0 \]

Первый вариант отпадает, т.к. :

\[ (3 + 5^{x - 1} ) > - (4ctg^2 x + 2tg^2 x) \]

,
следовательно проходит только второй вариант, при решении получается, что

\[ a \in ( - 4\sqrt 2 ;3] \]

а в ответе :

\[ a \in [ - 4\sqrt 2 ;3] \]

Почему они берут

\[ - 4\sqrt 2 \]

в квадратной скобке, ведь при этом значении а, знаменатель при некотором иксе обратится в нуль, или я не прав ?

Добавлено спустя 26 минут 21 секунду:

кто-нибудь..... ауууу

[Хорхе]

Все перепутал. Знаки должны быть одинаковые.

[DoGGy]

Цитата:

Сначала я переписал бы неравенство в виде:

$$\frac{a-{(3 + 5^{x - 1} )}}{{a + (4ctg^2 x + 2tg^2 x)}} \ge 0$$

Мы же изменили вид неравенства, следовательно, ищем значения параметра уже для него, и если решать так, то получается, что

\[ - 4\sqrt 2 \]

не входит, т.к. знаменатель при таком а может обратиться в нуль.. ) Тогда почему это значение является решением ?

[ewert]

DoGGy в сообщении #186413 писал(а):

Почему они берут

в квадратной скобке,

именно потому и берут. Если значение $a$ критическое, то иксы, при которых знаменатель обращается в ноль, запрещаются, т.е. не входят в множество решений неравенства. А нам ведь как раз и надо, чтобы это множество было пустым.

Раз уж задача более-менее решена, то я бы сказал, что логика какая-то чересчур заковыристая. Надо так. Числитель в любом случае положителен при всех достаточно больших иксах, в то время как знаменатель периодичен. Поэтому для несуществования решений необходимо, чтобы знаменатель не менял знака, т.е. чтобы было $a\geqslant-4\sqrt2$. Но тогда не должен менять знака и числитель, т.е. должно быть $a\leqslant3$. При этом условии числитель оказывается строго положительным, а вместе с ним и вся дробь (при всех иксах, входящих в О.Д.З.) -- т.е. решения исходного неравенства отсутствуют. Следовательно, окончательное решение: $a\in[-4\sqrt2;\,3]$.

[DoGGy]

все, разобрался, всем спасибо..