следует ли дифференцируемость из разложения в ряд Тейлора?

[Asalex]

Пусть
а)$h \in C[0,1]$
б)$h \in C^{\infty} (0,1]$
в)$\exists \{a_k\}_{k=0} ^ \infty \forall N \in \mathbb{N} : h(x)=\sum\limits_{k=0}^{N} a_k x^k+\overline{o}(x^N)(x \rightarrow +0)$

Что можно сказать о дифференцируемости функции h в нуле?

Все идеи, которые у меня есть заключаются в том, что если не требовать условий а) и б), а вместо в) взять
в')$\exists N \geqslant 1 \exists \{a_k\}_{k=0} ^N : h(x)=\sum\limits_{k=0}^{N} a_k x^k+\overline{o}(x^N)(x \rightarrow +0)$

то существование больше чем одной производной в нуле гарантировать нельзя:

$h(z)=\left\{ \begin{array} {l} 1+x+x^2+\ldots+x^N, x \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \\ 1+x+x^2+\ldots+x^N+x^{N+1}, x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}^C \end{array} \right.$

Но эта функция разрывна всюду кроме нуля.

[AD]

Несложно придумать функцию $h:[0,1]\to\mathbb{R}$, удовлетворяющую а) и б), являющуюся $\overline{o}(x^k)$ при $x\to+0$ при всех $k\in\mathbb{N}$ (то есть разложимую в тождественно нулевой ряд Тейлора), но тем не менее имеющую разрывную в нуле первую производную.

Для этого надо вокруг нуля понаставить гладких столбиков, высота которых очень быстро стремится к нулю, но ширина которых стремится к нулю еще быстрее.

[ewert]

Из сочетания всех трёх пунктов а), б) и в) (или в'), неважно) следует однократная дифференцируемость в нуле, но -- не более того. Причина: даже если функция имеет в окрестности нуля сколько угодно производных -- при стремлении к нулю эти производные могут вести себя как угодно. Контрпример: $f(x)=e^{-1/x^2}\cdot\cos\left(e^{1/x^2}\right).$

[Asalex]

AD, ewert вы правы. Спасибо.