Несложно придумать функцию
![$h:[0,1]\to\mathbb{R}$ $h:[0,1]\to\mathbb{R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/6/8c64aa59710af4e604f0b0ca8f99251582.png)
, удовлетворяющую а) и б), являющуюся

при

при всех

(то есть разложимую в тождественно нулевой ряд Тейлора), но тем не менее имеющую разрывную в нуле первую производную.
Для этого надо вокруг нуля понаставить гладких столбиков, высота которых очень быстро стремится к нулю, но ширина которых стремится к нулю еще быстрее.