Система двух неизвестных, 9 класс.

[rdes]

Подкиньте, пожалуйста, идейку как решить:

$$ x + \frac{{7x - y}} {{x^2 + y^2 }} = 5 $$

$$ y - \frac{{x + 7y}} {{x^2 + y^2 }} = 0 $$

Замечено, при подстановке во вторую строчку

$$ x = y $$

и

$$ y = - x $$

она равна левой части первой.

[Таня Тайс]

rdes писал(а):

Замечено, при подстановке во вторую строчку

$$ x = y $$

и

$$ y = - x $$

она равна левой части первой.

Не равна, знак минуса у $x$ появляется.

[rdes]

Вы правы..

[незваный гость]

Если Вы знаете комплексные числа, то проще всего рассмотреть $z = x + {\rm i} y$, умножить второе уравнение на ${\rm i}$ и сложить с первым. После чего получится квадратное уравнение. Правда, если нас интересуют не только действительные решения, то обратный переход (от $z$ к $(x,y)$) не однозначен. Но от неоднозначности можно уйти, рассмотрев первое уравнение минус ${\rm i}$ второе.

Если нет, то можно обозначить $t = x/y$. Тогда из второго уравнения можно найти $y$ как функцию $t$, и подставить в первое уравнение. Получится уравнение 4-ой степени, у которого 2 корня легко угадываются.

[rdes]

Замена:

$$ t = x/y $$

Из второй строчки получается:

$$ y^2 = \frac{{t + 7}} {{t^2 + 1}} $$

А просто подставить не получается, нужен линейный

$$ y $$

, а тогда корни полезут

[незваный гость]

Конечно, полезут. Но если аккуратно всё сделать, то всё упростится. (Например, можно возвести обе части в квадрат. Потом, правда, надо проверить, что все корни подходят до возведения в квадрат.)

[Mr.Brain]

Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать

[TOTAL]

Mr.Brain писал(а):

Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать

$((y^3/2)*x)+(3*x*y)=25$ или $(y^3/(2*x))+(3*x*y)=25$?

[gris]

Используйте \frac для записи дробей. И не ставьте звёздочки.

$\frac {x^3}{y}-2xy=16$

$\frac{y^3}{2x}+3xy=25$

домножить и вычесть.
Вначале просто обалдел - как это за ночь тема набрала 850 просмотров. Потом обратил внимание на месяц

[Кайгородов Евгений]

Можете тупо сразу подставить y из второго в первое уравнение. А затем... по методу Феррари.[/math]

[Someone]

rdes в сообщении #105342 писал(а):

Подкиньте, пожалуйста, идейку как решить:

$$ x + \frac{{7x - y}} {{x^2 + y^2 }} = 5 $$

$$ y - \frac{{x + 7y}} {{x^2 + y^2 }} = 0 $$

Обозначим $A=x^2+y^2$ и выразим $x$ и $y$ из системы

$$\begin{cases}x+\frac{7x-y}A=5\text{,}\\ y-\frac{x+7y}A=0\text{.}\end{cases}$$

После подстановки найденных выражений в равенство $x^2+y^2=A$, упрощений (включая сокращение на $A\neq 0$) и замены $A=5B$ получится уравнение четвёртой степени с двумя легко подбираемыми корнями.

Mr.Brain в сообщении #185266 писал(а):

Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать

Избавляясь от знаменателей, получим

$$\begin{cases}x^3-2xy^2=16y\text{,}\\ y^3+6x^2y=50x\text{.}\end{cases}$$

Поскольку $x\neq 0$, делим первое уравнение на воторое (левую часть на левую, правую на правую) и подставляем $y=tx$. Если бы значение $x=0$ было допустимым, его нужно было бы подставить в систему и найти соответствующие значения $y$.

gris в сообщении #185293 писал(а):

Потом обратил внимание на месяц

Ой, и правда.

[Mr.Brain]

[/quote]
$((y^3/2)*x)+(3*x*y)=25$ или $(y^3/(2*x))+(3*x*y)=25$?[/quote]$((y^3)/(2*x))+(3*x*y)=25$

[TOTAL]

$\frac {x^3}{y}=2xy+16$
$\frac{y^3}{2x}=-3xy+25$
Перемножьте два уравнения и найдите $xy$.

[neo66]

Гениально!

[Батороев]

Как вариант, поделить оба уравнения на $xy$, умножить их на $25$ и $16$, соответственно, и затем из полученного биквадратного уравнения найти $\dfrac{x}{y}$.

Добавлено спустя 28 минут 38 секунд:

А может, чтобы исключить дальнейший перебор, правильнее будет решить одновременно обоими вариантами?!