2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система двух неизвестных, 9 класс.
Сообщение10.03.2008, 02:27 
Подкиньте, пожалуйста, идейку как решить:
$$
x + \frac{{7x - y}}
{{x^2  + y^2 }} = 5
$$
$$
y - \frac{{x + 7y}}
{{x^2  + y^2 }} = 0
$$




Замечено, при подстановке во вторую строчку $$
x = y
$$ и $$ 
y =  - x
$$
она равна левой части первой.

 
 
 
 Re: Система двух неизвестных, 9 класс.
Сообщение10.03.2008, 02:46 
Аватара пользователя
rdes писал(а):
Замечено, при подстановке во вторую строчку $$
x = y
$$ и $$ 
y =  - x
$$
она равна левой части первой.

Не равна, знак минуса у $x$ появляется.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 02:50 
Вы правы..

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 03:07 
Аватара пользователя
:evil:
Если Вы знаете комплексные числа, то проще всего рассмотреть $z = x + {\rm i} y$, умножить второе уравнение на ${\rm i}$ и сложить с первым. После чего получится квадратное уравнение. Правда, если нас интересуют не только действительные решения, то обратный переход (от $z$ к $(x,y)$) не однозначен. Но от неоднозначности можно уйти, рассмотрев первое уравнение минус ${\rm i}$ второе.

Если нет, то можно обозначить $t = x/y$. Тогда из второго уравнения можно найти $y$ как функцию $t$, и подставить в первое уравнение. Получится уравнение 4-ой степени, у которого 2 корня легко угадываются.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 03:26 
Замена: $$
t = x/y
$$ Из второй строчки получается: $$
y^2  = \frac{{t + 7}}
{{t^2  + 1}}
$$
А просто подставить не получается, нужен линейный $$
y
$$, а тогда корни полезут

 
 
 
 
Сообщение10.03.2008, 04:39 
Аватара пользователя
:evil:
Конечно, полезут. Но если аккуратно всё сделать, то всё упростится. (Например, можно возвести обе части в квадрат. Потом, правда, надо проверить, что все корни подходят до возведения в квадрат.)

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 03:40 
Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать :(

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 07:17 
Аватара пользователя
Mr.Brain писал(а):
Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать :(

$((y^3/2)*x)+(3*x*y)=25$ или $(y^3/(2*x))+(3*x*y)=25$?

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 10:06 
Аватара пользователя
Используйте \frac для записи дробей. И не ставьте звёздочки.

$\frac {x^3}{y}-2xy=16$

$\frac{y^3}{2x}+3xy=25$

домножить и вычесть.
Вначале просто обалдел - как это за ночь тема набрала 850 просмотров. Потом обратил внимание на месяц :)

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:42 
Можете тупо сразу подставить y из второго в первое уравнение. А затем... по методу Феррари.[/math]

 
 
 
 
Сообщение11.02.2009, 01:14 
Аватара пользователя
rdes в сообщении #105342 писал(а):
Подкиньте, пожалуйста, идейку как решить:
$$ x + \frac{{7x - y}} {{x^2 + y^2 }} = 5 $$
$$ y - \frac{{x + 7y}} {{x^2 + y^2 }} = 0 $$


Обозначим $A=x^2+y^2$ и выразим $x$ и $y$ из системы
$$\begin{cases}x+\frac{7x-y}A=5\text{,}\\ y-\frac{x+7y}A=0\text{.}\end{cases}$$
После подстановки найденных выражений в равенство $x^2+y^2=A$, упрощений (включая сокращение на $A\neq 0$) и замены $A=5B$ получится уравнение четвёртой степени с двумя легко подбираемыми корнями.

Mr.Brain в сообщении #185266 писал(а):
Помогите решить систему уравнений:
$(x^3/y)-(2*x*y)=16$
$(y^3/2*x)+(3*x*y)=25$
Даже не знаю с чего начать


Избавляясь от знаменателей, получим
$$\begin{cases}x^3-2xy^2=16y\text{,}\\ y^3+6x^2y=50x\text{.}\end{cases}$$
Поскольку $x\neq 0$, делим первое уравнение на воторое (левую часть на левую, правую на правую) и подставляем $y=tx$. Если бы значение $x=0$ было допустимым, его нужно было бы подставить в систему и найти соответствующие значения $y$.

gris в сообщении #185293 писал(а):
Потом обратил внимание на месяц


Ой, и правда.

 
 
 
 
Сообщение11.02.2009, 01:21 
[/quote]
$((y^3/2)*x)+(3*x*y)=25$ или $(y^3/(2*x))+(3*x*y)=25$?[/quote]$((y^3)/(2*x))+(3*x*y)=25$

 
 
 
 
Сообщение11.02.2009, 05:39 
Аватара пользователя
$\frac {x^3}{y}=2xy+16$
$\frac{y^3}{2x}=-3xy+25$
Перемножьте два уравнения и найдите $xy$.

 
 
 
 
Сообщение11.02.2009, 11:29 
Гениально! :)

 
 
 
 
Сообщение11.02.2009, 12:20 
Как вариант, поделить оба уравнения на $xy$, умножить их на $25$ и $16$, соответственно, и затем из полученного биквадратного уравнения найти $\dfrac{x}{y}$.

Добавлено спустя 28 минут 38 секунд:

А может, чтобы исключить дальнейший перебор, правильнее будет решить одновременно обоими вариантами?!

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group